余弦定理证明案例分析

余弦定理证明案例分析

余弦定理证明案例分析

秭归二中 董建华

我今年教高一（3）、一（7）班两班数学，在证明余弦定理时，上午第二节在一（3）班上数学，在证明余弦定理时，我是这样上课的：

同学们，前一节课我们学习了正弦定理及其证，现在请同学们考虑这样一个问题，已知三角形的两边及夹角如何求夹角的对边。

即：在△ABC中，已知AC b,BC a,及 C，

求C。

请同学们思考后回答这个问题，同学们沉默了

三五分钟，开始相互讨论，并得出了如下解法：

过A作AD BC于D，是AD＝ACsinC BCsinC，

CD ACcos bcosc,

在Rt ABD中，AB2 AD2 BD2 (bsinc)2 (a bcosc)2 a2 b2 2abcosc，用的是初中的知识，我们请同学们继续想，

我们学了向量，能否用向量的知识加以证明呢？

表现出一片茫然，并开始画图分析，

讨论终于得出

2 2 2 AB AB (AC BC) (AC BC) AC 2AC BC BC AC 2|AC| |BC|

2 cos(180 B) BC b2 2abcosB a2，即。c2 a2 b2 2abcosc 这样一个余弦定理证明下来，同学们分析、观察、讨论用了近30分钟。我觉得这样上课太浪费时间，这么简单的问题，花这么多时间去讨论。

于是我在一（7）班一上课就开门见山的说：“前面我们学习了正弦定理及其证明，这节课我们主要分析余弦定理，即：

余弦定理证明案例分析

，a2 b2 c2 2bccosA, b2 a2 c2 2accosB, c2 a2 b2 2abcosC ”

现在我们来证明c2 a2 b2 2abcosC ：

2 证： AB AC BC AB AB=（AC BC）（ AC

2 2 AC 2AC BC BC b2 2bacosc a2

即：c2 a2 b2 2abcosc，同理可证其余两个，

同学们听懂了没有，大家齐答听懂了。前后不过5 分钟左右的时间，我当时还感觉我讲得不错，反正只要学生听懂了就行。

结果一个星期后，有一个小测验，试卷上刚好有一题是用向量的方法证明余弦定理，成绩下来，一（3）班有41人做对了此题，一（7）班仅有7人做对了此题。两个平行班，一个老师教，方法不一样，效果却相差如此之大，我对此进行了案例反思。

反思案例：

1、定理的证明重在教师引导，放手让学生去发现、观察、分析得出结论，如采取注入式教师，虽老师一教学生能听懂，但毕竟不比自己亲手得出的东西印象深刻。

2、引导学生分析问题，表面上看浪费了许多时间，但教会了学生学习的方法，以后遇到许多类似的问题根本不需老师重复去教，学生自己会分析，所以从整体上节约了时间。

3、我在前一节课完全是以学生为主体，后一节课完全是以老师为主体，在课堂教学中，应将教师的主导作用将学生的主体作用表现出来，让教学效果达到更优化。

总之，通过两节课，效果的比较，使我认识到在课堂上要充分引导学生去分析、观察、发现、讨论、探究问题，让学生做课堂的演员，教师仅仅是节目的主持人，分工明确，一节课才是一节完整的课。