最小二乘法原理及其MATLAB实现

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刘志平

石林英

2 0 5 (海工学院理学院,江苏连云港 22 0 )淮

摘

要:本文详细给出了最小二乘法的理论推导过程,并以实例的形式说明了如何使用M T A函数求解不同类型的拟合 A LB

问题 .

关键词:最小二乘法;拟合;M T A ALBThe P i c pl a tSq r g r t m n t h e e e tb ATLAB r n i eof Le s ua eAl o ih a d is Ac i v m n y M LI Zh - i g. SHIL n- i g U ip n i yn

(c o l f ce c, ah in tueo e h oo y La y n a gl n s 2 0 ) S h o in e Hu ia Isi t f c n lg, in u g n a g u2 0 5 oS t T iAbsr c:I hs p p r ta t n t i a e,wed c s h rn il fla ts u r lo i m n d ti n x li o t ov t yusn iu st e p icp eo s q a eag rt e h i eal,a d e pan h w o s le i ig b MATLAB. o v r p fp o lm, iea x mp et l nd rt n i . F re e yt eo r be weg v n e a l ohepu e sa dng yKe r s la t q a ea g rt m; ti g; y wo d: e s u r l o i s h ft i n MATL AB

对工程实践中测得的数据进行理论分析,用恰当的函

.

=

3 5, . 8 '

XYi l=2 . 2 7,代入方程 318 ' l八, J任组 ( )得:"1付:

数去模拟数据原型是一类十分重要的问题,最常用的逼近原则是让实测数据和估计数据之间的距离平方和最小,这即是最小二乘法 .已有的很多文献大多是针对多项式形式,或者是可以转化为多项式形式的问题进行讨论,如文献[]本文在详细给出最小二乘法的理论推导过程的基础 3.上,针对不同类型的拟合问题,包括一般的非线性问题,

』8+.=32 35 5 217 _ 5· n 6 8用蓝色实线表示 .

【,+ O= 7 59由此解得【= .1 5 a lb 3. 6 5 3 b2 0

_· 3

因此拟合曲线为:=31x 20,该拟合曲线在图 1 .+ .1 3中

上述解题过程在 M T A环境下,可以直接使用 A LB p lft o y i函数实现,具体的命令格式为:=

用具体实例的形式给出了如何使用M TA去求解它们. A LB

l线性拟合 有一组实测数据:■ l 0 1 J 0 2 1 0 3 1 0 4 l 0 5 f 06 1 0 7 l 0 8 J 0 0 I 1 0 . . . . . . .

[ . 02 0,, O5060708091】 0 1 ., 04 . . .,, . ,, 3,,,,,,0

y= 23 0, .4 0 29 7, . 8, . 0, . 9, .1 7[ . 1 6 7, . 032 536 83 0 042 4, 2 2 0 8 0 9 45 9, . 3, . 7】 .1 1 8 25 1 5 4 2 2 P=p l (, 1 o~t, y x )I. 3 I .17l .11l .22l 2 24 4 9 83 517 4 5 4 5

Y l .21l .4 2 O0I . 5l . 3 2 7 I. 7 3 2 0 6 0 g 3

已知该数据可能满足的原型函数为 y a+,试求出满=xb足上面数据的最小二乘解的值 .首先绘出离散点图,在图

其中 p lf t数中的输入参数 l示采用一次多项

式 o yi函表方式拟合,即线性拟合 .输出参数 P一个 l的行向量,是×2 其中P() x 1是的系数,P 2是常数项 . ()

1中我们用红五星代表离散点 .从图形来看,离散点大致落在一条直线上,故可以用线性拟合来求出离散点问满足的关系 .假设所求直线为 y a+,下面应用最小二乘法原理=xb求出a b和 .旦

2多项式拟合 假如数据满足的函数原型为 n多项式= n a一 .次 aX+ n .+++ .,则p lft L d d x o yi函数利用 E最小二乘法原理同样可以求出 a,n,,I o a.L a a,其命令格式为:pplftxYn,其 . =oyi (,),中输入参数x y别是已知数据的横坐标和纵坐标数组,和分 n明采用的拟合多项式的次数;输出参数 P一个 l 指是×

令 M

一+ ),最小二乘法原理就是求出使 M ( 6 】取

得最小值时的a,如果把M和b看作是白变量为a的函数,和b 由多元函数取最值的条件可知,上述问题可以通过求方程

组 J"?的解来解决,即令:

(+ ) n 1的行向量,具体来说,P 1是x的系数,P 2是x () ()的系数,……,P n 1是常数项 . (+ )

f i o . 籼善: . i=oc堋 '理 1+= 一【q=整得善善 —+ . i .帖 由初始数据可得到:一:5 y: 7 59, . 5, 3.6 3收稿日期:2 0— 5 1 0 8 0— 6修回日期:2 0— 6 1 0 8 0— 1

3一般的非线性拟合 x l 3 l 77 l 93 i 41 l s6 I 28 l 1 f 79 l 1 l 54 00 6 3 Y{ 1 f 106} 231 2 f 0 l 99 I 27 l】 3 l 2 5 65 5 6 l 47 235 6 3 5O 9 I 43

对上表中的数据,理论分析得到数据满足的函数原型为:= (x+ ()i+ (),那么根据最小二乘法原 a1 !口2s ()口3 ) n

基金项目:淮海工学院自然科学基金资助项目 ( X 6 4;K 6 3;K 6 3 . K O 0 3K O 0 5K 0 0 6)作者简介:刘志平 ( 7一),男,山东烟台人,淮海工学院理学院讲师,硕士,主要从事计算机辅助几何设计领域的研究. 1 9 93 3

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中目西科技 2 0年6 (旬 ) 7 08月中第O卷第 1期总第 1 2 7 4期理,如何求得 a 1,a 2和a 3昵?对这类问题,可以利 () () ()用M T4 A L B提供的 l cret函数解决,具体步骤为: s uv q f i条语句改为:al cret a ) 1 x 2a2' nx () .,= quvf(, a ) .+() i( 3'^ s i@(x ( * s a x 3

a,y O, x ).得到的结果是一样,下面给出离散点图和拟合曲

首先在M文本编辑器里编写用户自定义函数:ft t n F=用 口 uw i o 9i, F=口1' 2 () s () ()^ () .+口2 'i x+口3 . 3^ n

线,如图2 .

然后在脚本函数中调用 l crft函数,详细程序如下: s uv q e i=

【.'.,.'. 86281,.,0054

36779341 .'.'. 791.,.】, 3

Y:【651062 312 .,0 .,.,.,6 .'2 ..43 l.,5 .,6 . 472 8599271 393 5o5 ., 1

a:0 0 o O【 】 口 n c r~ ( , Ox )= quv t e@朋 f a,,

其中a为a 0的最初预测值,@,fn表示 rfn的函数 nu y e u v .

句柄,通过上述程序可求得:口【. 6,. 8,. 2】,=o 2903 5 3 2 2 3 00即:0 2 9 O 35i x+ . 2 x .请注意,最终得到 . 6x+, 8 s () O 02 2 3 n 3

的结果与最初预测值 a无关 .如果不想编写自定义函数, 0 我们也可用下面的方式求解,只需将脚本函数中的最后一

图2非线性拟合

4小结 最小二乘法原理在很多领域都有着广泛的应用,利用

M T A求解非常方便,但一定要主要问题的类型,尤其是 ALB对非线性问题,最终得到的结果要保证收敛并且在有效的误差范围内,如果不能满足上述要求,则要根据具体问题

的要求,依据最小二乘法的原理去重新编写程序.参考文献:[]同济大学应用数学系 .等数学[]北京:等教育出版 1高 M.高社.026~7. 2 0:7 1

[]郑阿奇.~T A实用教程[]北京: 2 g LB A M.电子工业出版社, 0 5 20.[]陆 3健 .小二乘法及其应用[J].国西部科技,最中2 0 1) l~ 2 . 0 7 (2:9 1

图l线性拟合

(接第5页)府规范行政执法体系,切实加大对"上 5三乱" 和"吃拿卡要"等干扰民营经济发展的人和事的整治力度 .在行政执法和监督管理部门全面开展服务承诺制,全面提高为民营经济服务的质量,水平和效果.三是优化法

手段实现治理科学.由家族管理模式向现代企业管理模式转变,由传统企业制度向现代企业制度转变,由个体分散经营向集体,规模经营转变 .其次要加强企业管理,走出"创业——守业——败业"的怪圈 .要引导民营企业突破所有制

治环境 .政府要整顿和规范市场经济秩序,对严重干扰和破坏经济市场的行 …… 此处隐藏：3205字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……