南京市鼓楼区清江花苑严老师2013年湖南省中考数学压轴题解析汇编

【2013²湖南长沙²26题】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴、y轴交于点A、B，动点P(a，b)在第一象限内，由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（垂足为M、N）分别与直线AB相交于点E、F，当点P(a，b)运动时，矩形PMON的面积为定值2. （1）求∠OAB的度数； （2）求证：△AOF∽△BEO；

（3）当点E、F都在线段AB上时，由三条线段AE、EF、BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2。试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由。

解：（1）由y=-x+2知，

∵当x=0时，y=2 ∴B（0，2），即OB=2 ∵当y=0时，x=2 ∴A（2，0），即OA=2 ∵OA=OB ∴△AOB是等腰直角三角形 ∴∠OAB=45° （2）∵EM∥OB

∴

BEOM AB

OA ∵FN∥OA

∴AFAB

ON OB

∴AF²

ON

OM=2OM²ON ∵矩形PMON的面积为2 ∴OM²ON=2 ∴AF²BE=4 ∵OA²OB=4

∴AF²BE=OA²OB，即AFOA

OB

BE

∵∠OAF=∠EBO=45° ∴△AOF∽△BEO

（3）易证△AME、△BNF、△PEF为等腰直角三角形

∵AM=EM=2-a ∴AE2=2(2-a)2=2a2-8a+8 ∵BN=FN=2-b ∴BF2=2(2-b)2=2b2-8b+8 ∵PF=PE=a+b-2

∴EF2=2(a+b-2)2=2a2+4ab+2b2-8a-8b+8 ∵ab=2 ∴EF2=2a2+2b2-8a-8b+16 ∵EF2= AE2+BF2

∴由线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则此三角形的外接圆面积为：

S 2= 4²2(a+b-2)2=

1=EF2

(a+b-2)24

∵S1

梯形OMPF=

2(PF+OM)²PM S11

△PEF=2PF²PE，S△OME=2OM²EM

∴S2=S梯形OMPF-S△PEF-S△OME

=12(PF+OM)²PM-12PF²PE-1

2OM²EM =1

2[PF²(PM-PE)+OM²(PM-EM)] =1

2(PF²EM+OM²PE) =1

2PE²（EM+OM) =1

2

(a+b-2)(2-a+a) =a+b-2

∴S

1+S2=

2

(a+b-2)2+(a+b-2) 设m=a+b-2，则S 2 1

11+S2=2m+m=2(m+

)2-2

∵面积之和不可能为负数 ∴当m＞-

1

时，S1+S2随m的增大而增大 ∴当m最小时，S1+S2就最小 ∵m=a+b-2=a+

2

a-

)2

2

a=b

时，m最小，最小值为

-

2

∴S

1+S2的最小值=

2

-2)2

-2 = 2(3-

π

-2

【2013²湖南株洲²24题】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，

1

），将抛物线C1向下平移h个单位4

（h＞0）得到抛物线C2，一条平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）。 （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点D，求证：tan∠EDF-tan∠ECP=1

解：（1）由题意设抛物线C1的解析式为y=a(x-1)2

∵抛物线C1过点（0，14

） ∴a=

14

∴抛物线C1的解析式的一般形式为

y=14(x-1)2=14x2-12x+14

（2）由题意可得，抛物线C=1

2的解析式为y4

(x-1)2-h

∵当m=2时，直线AB与x轴的距离是4 ∴直线AB的解析式为y=4 ∵在抛物线C1

1中，当y=4时，4

(x-1)2=4 解得x=5或-3

∴点C的坐标为（5，4） ∵点A、C关于y轴对称 ∴点A的坐标为（-5，4） 代入抛物线C1

2的解析式得4=4

(-5-1)2-h ∴h=5

（3）∵在抛物线C1

1中，当y=m2时，

(x-1)24

=m2 解得x=1+2m或1-2m ∴点C坐标为（1+2m，m2

） ∵点E坐标为（1，m2） ∴PE=m2，EC=2m

PEm2∴tan∠ECP=EC m

2m=2

2

C1

2中，当y=m2时，

4

(x-1)2-h=m2 解得x

1-

A坐标为（1-

m2） 点D坐标为（

m2） A、C关于y轴对称 1-

EF=m2+h

EF2tan∠

EDF=DE

=2

=

m+1

2

tan∠EDF-tan∠ECP=

m+12-m2=1

2

∵在抛物线∴点∵点∴∵

∴∴

【2013²湖南郴州²26题】如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系。抛物线顶点为A，且经过点C。点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E。 （1）求抛物线的解析式；

（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？

（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？

解：（1）由题意知，点A（0，2）是抛物线的顶点

∴可设抛物线的解析式为y=ax2

+2 由题意得，点C（3，0）在抛物线上 ∴9a+2=0，得a=-29

∴抛物线的解析式为y=-229

x+2 （2）连接EE′交y轴于F

当四边形OEAE′是菱形时，OA与EE′互相垂直平分，即F是OA的中点，其坐标为（0，1）

∴点E的纵坐标为1 由-

29

x2

+2=1解得x=

±2

∵点E在第一象限 ∴点E

坐标为（

2

，1） ∴直线OE的解析式为y

x 由题意得，点B坐标为（1，2） 设直线BC的解析式为y=kx+b，则

k b 2 3k b 0 解得

k 1

b 3

∴直线BC的解析式为y=-x+3 联立直线OE、BC的解析式解得： 点D

坐标为（27

7，6

7

） ∵QD⊥OC

∴点Q

0） 故，当点Q

运动到（27 7

，0）时，四边形OEAE′是菱形

（3）∵PB∥OD ∴∠APB=∠AOE

∵DQ∥OA ∴∠QDO=∠AOE ∴∠APB=∠QDO ∴Rt△PAB∽Rt△DQO ∴

DQOQ

AP

AB

过点B作BH⊥OC于H，则四边形AOHB是矩形，得BH=OA=2，OH=AB=1

∴HC=BH=2，即△BHC为等腰直角三角形 ∴△CDQ为等腰直角三角形 ∴DQ=CQ=3t

∵AP=2t，OQ=OC-CQ=3-3t

∴

3t3 3t2t

1，得t=1

2

经检验t=1

2是分式方程的根

∴当t=1

2

s时，PB∥

OD

【2013²湖南常德²26题】已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME。

（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．

E

F

A

图1解：（1）延长BM交EF于N。

∵AB⊥CE，EF⊥CE ∴AB∥EF

∵∠BAM=∠NFM，∠ABM=∠FNM ∵M是AF的中点 ∴AM=FM ∴△ABM≌△FNM ∴AB=FN ∵AB=BC ∴BC=FN ∵CE=FE ∴BE=NE

∴△BEN是等腰直角三角形 ∴∠EBN=45° ∵∠C=45° ∴∠EBN=∠C ∴BM∥CF

（2）由(1)得，BE=NE=CE-BC=

a

∴

∵△ABM≌△FNM ∴BM=MN

A

图2

C

∴BM=

1

2

∵△BEN是等腰直角三角形，M是BN的中点 ∴

ME=

1

2

BN= …… 此处隐藏：10480字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……