3.3.3 点到直线的距离&3.3.4 两条平行直线间的距离-数学必修

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离

1.什么是点到直线的距离？ 什么是点到直线的距离？到直线的距离是指: 点P0到直线的距离是指: 从点P 如图所示 到直线l(如图所示 的垂线段P 的长度 如图所示)到直线 如图所示)的垂线段 的长度， 从点 0 (如图所示 到直线 如图所示 的垂线段 0Q的长度， 其中Q为垂足 其中 为垂足. 为垂足

yP0o

Qlx

2.点到直线的距离 2.点到直线的距离已知点 P0 ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax + By + C = 0 , 如何求点 P0 到直线 的距离？ l 的距离？

yP0o

Ql

x

探究一： 采用以下思路： 探究一： 采用以下思路：

l ⊥ P0Q直线 l 的斜率

直线 P Q 的斜率 0

试一试， 试一试， 你能求出吗？ 你能求出吗？P0Q

直线P Q 的方程 0

yP0o

交点

点Q 的坐标 点P 的坐标 0

Q

直线 l 的方程

lx两点间距离公式

的距离) 点 P 、Q之间的距离 P Q( P 到l 的距离) 0 0 0

A 由 l ⊥ P0Q 及直线 l 的斜率 B B 得 直线 P0Q 的斜率为 A B 因此直线 P0Q 的方程为 y y0 = ( x x0 ) A B 2 x0 ABy0 AC Ax + By + C = 0 x = A2 + B 2 解方程组 B 得 A2 y0 ABx0 BC y y0 = ( x x0 ) y = A A2 + B 2

B 2 x0 ABy0 AC A2 y0 ABx0 BC , ) 即Q点的坐标为 ( 点的坐标为 2 2 2 2 A +B A +B

点 P0、Q 之间的距离 P0Q( P 到 l 的距离)为 的距离) 0B 2 x0 ABy0 AC 2 A2 y0 ABx0 BC 2 P0Q = ( x0 ) + ( y0 ) 2 2 2 2 A +B A +B

逐项整理 B x0 ABy0 AC x0 2 2 A +B A4 x0 2 + A2 B 2 y0 2 + A2C 2 + 2 A3 Bx0 y0 + 2 A3Cx0 + 2 A2 BCy0 = ( A2 + B 2 ) 22 2

A2 y0 ABx0 BC 2 ( y0 ) 2 2 A +B B 4 y0 2 + A2 B 2 x0 2 + B 2C 2 + 2 AB 3 x0 y0 + 2 B3Cy0 + 2 AB 2Cx0 = ( A2 + B 2 ) 2

以上两式相加， 以上两式相加，只整理分子得( A4 + A2 B 2 ) x0 2 + ( B 4 + A2 B 2 ) y0 2 + ( A2C 2 + B 2C 2 ) + 2 A3 Bx0 y0 +2 AB3 x0 y0 + (2 A2 BC + 2 B3C ) y0 + (2 A3C + 2 AB 2C ) x0

= A2 ( A2 + B 2 ) x0 2 + B 2 ( A2 + B 2 ) y0 2 + 2 AB( A2 + B 2 ) x0 y0 +2 BC ( A2 + B 2 ) y0 + 2 AC ( A2 + B 2 ) x0 + C 2 ( A2 + B 2 )

= ( A2 + B 2 )( A2 x0 2 + B 2 y0 2 + 2 ABx0 y0 + 2 BCy0 + 2 ACx0 + C 2 )

= ( A2 + B 2 )( Ax0 + By0 + C )2( A2 + B 2 )( Ax0 + By0 + C ) 2 所以 P0Q = ( A2 + B 2 ) 2 Ax0 + By0 + C ( Ax0 + By0 + C ) 2 = = 2 2 A +B A2 + B 2

由此我们得到点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离为

d=

| Ax + By + C | A +B

.

注意 1.此公式是在 ≠0的前提下推导的 的前提下推导的； 1.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 2.如果 =0或 =0,此公式恰好也成立； 2.如果A=0或B=0,此公式恰好也成立；

探究二： 如图所示，采用以下思路： 探究二： 如图所示，采用以下思路： 求出点 R的坐标 求出点 S 的坐标 求出 P R 0 求出 P S 0 利用勾股定

理求出

SR

y

SQ

P0Q 是 Rt P0 RS 斜边上的高, 斜边上的高由三角形面积可求出 QP0

dP0O

R lx

如图， 如图，设 A ≠ 0, B ≠ 0 则直线 l 与 x 轴和 y 轴 都相交， 都相交， 则直线 P0 R 的方程为 y = y0 直线 P0 S 的方程为 x = x0

y

S

dP0O

Q

R lx

R

的坐标为 (

S

By0 + C , y0 ) A Ax0 + C 的坐标为 ( x0 , ) B

于是有

Ax0 + By0 + C By0 + C P0 R = x0 = A A Ax0 + By0 + C Ax0 + C P0 S = y0 = B BRS = P0 R + P0 S =2 2

A2 + B 2 Ax0 + By0 + C A B

设 P0Q = d , 由三角形的面积公式得d RS = P0 R P0 S

于是得 d =

P0 R P0 S RS

=

Ax0 + By0 + C A2 + B 2

点到直线的距离公式 点P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离为

d=

| Ax + By + C | A +B

.

注意

当A=0或B=0,此公式也成立。 或 ，此公式也成立。

(1) 2x + y 10 = 0 ; ( 2 ) 3x = 2 .| 2 × ( 1) + 2 10 | 22 + 12

例1 求点 P ( 1, 2 ) 到下列直线的距离 :

解:(1)根据点到直线的距离公式，得 根据点到直线的距离公式，d= 10 = = 2 5. 5

(2)根据点到直线的距离公式，得 根据点到直线的距离公式，d= | 3 × ( 1) 2 | 32 + 02 5 = 3

注意： 注意：当A=0或B=0,也可直接利用图形性质求得距离。 或 ，也可直接利用图形性质求得距离。 如例1中 如例 中(2): ): 因为直线

3x 2 = 0d=

平行于

y 轴 ，所以

2 5 ( 1) = . 3 3