高等数学二重积分的计算法(1)2

高等数学

二重积分的计算法(1)

一、利用直角坐标系计算二重积分

如果积分区域为：

y 2(x)

a x b,

1 ( x ) y 2 ( x ).

［X－型］

y 2(x)

D

y 1( x )

a

b

D

y 1( x )

a

b

其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续.

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D

f ( x , y ) d 的值等于以

D 为底，以曲面

z

f ( x , y ) 为曲顶的柱体的体积．

应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,

y

z

z f ( x, y)

A( x0 )

x

y 2 ( x)

a

x 0

b

得

D

f ( x , y )d

b

dx

a

2(x)

y 1 ( x)

1( x )

f ( x , y ) dy .

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如果积分区域为： c y d , ［Y－型］

d

1 ( y ) x 2 ( y ).

d

x 1( y)

x 1( y)

D

x 2( y)

D

x 2( y)

c

c

D

f ( x , y )d

d

dy

c

2( y)

1( y)

f ( x , y ) dx .

X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.

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若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式

D1

D3

D2

D

D1

D2

D3

.

注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤

①画域，②选序，③定限 ⅱ）累次积分中积分的上限不小于 下限 ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限 要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好 区域的草图，——画好围成D的几条边界线，

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若是X—型， 就先 y 后 x 若是Y—型，就先 x 后 y

，

注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层 积分限是常数。

例1 改变积分

dx

0

1

1 x

f ( x , y )dy 的次序.

0

解

积分区域如图

y 1 x

1 1 y

原式

dy

0

f ( x , y ) dx .

0

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例2

改变积分

2 x x

2

0 dx 0

1

f ( x , y )dy

1 dx 0

2

2 x

f ( x , y )dy 的次序.

y 2 x

解 积分区域如图

原式

y

2x x

2

0 dy 1

1

2 y 1 y

2

f ( x , y ) dx .

例3 计算 xy

D

2

dxdy

D

y x, y x

2

解一

x y x D： 0 x 1

2

X—型

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1

x

D

xy dxdy

2

0 6

dx

x

2

y dy 1 40

2

1

1 3

x( x 3

0

x ) dx

解二 D

1 y

y x y 0 y 1

D

Y—型

2

I

dy

0 y

xy dx

2

1

1

y 2

0

( y y ) dy

2

1 40

例4 计算

x 2 dxdy, D : y x , y 2, xy 1

D

y

2

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解 D

1 x y y 1 y 2

2 y

Y—型

2

2 2

I =

2

dy

1 1 y

y x

1

dx

1

1

1

y (y

2

3

y ) dy

9 4

2

2

若先 y 后 x 由于D的下边界曲线在 x 的不同范 围内有不同的表达式， 须分片积分，计算较麻烦。

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由以上两例可见，为了使二重积分的计算较

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