信号与系统教案第5章1

信号与系统 电子教案 5.1 拉普拉斯变换

第五章 连续系统的s域分析

一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换

5.2 5.3 5.4

拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换逆变换 复频域分析

一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型

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第五章 连续系统的s域分析频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可 分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解 得到简化。物理意义清楚。但也有不足： (1)有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t); (2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频 域来解决这些问题。 本章引入复频率 s = ζ+jω,以复指数函数est为基本信 号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。 这里用于系统分析的独立变量是复频率 s ,故称为s域分 析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。第5-2页■

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5.1 拉普拉斯变换 一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e- t( 为实常数)乘信号f(t) , 适当选取 的值，使乘积信号f(t) e- t当t ∞时信号幅 度趋近于0 ,从而使f(t) e- t的傅里叶变换存在。Fb( +j )= [ f(t)

e- t]=

相应的傅里叶逆变换 为 1 - t= Fb ( j ) e j t d f(t) e 2 1 f (t ) 2 第5-3页

f (t ) e

t

e

j t

d t f (t ) e ( j )t d t

Fb ( j ) e ( j )t d ■

令s = + j ,d =ds/j,有©西安电子科技大学电路与系统教研中心

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拉普拉斯变换

Fb (s) f (t )e

st

dt

双边拉普拉斯变换对

f (t )

2 j j

1

j

Fb ( s) e st d s

Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换(或象函数), f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换(或原函数)。

二、收敛域只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号f(t)的双 边拉普拉斯变换存在。 使 f(t)拉氏变换存在 的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。第5-4页■

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信号与系统 电子教案 解

5.1

拉普拉斯变换

例1 因果信号f1(t)= e t (t) ,求其拉普拉斯变换。e ( s )t 1 F1b ( s) e t e st d t [1 lim e ( )t e j t ] 0 0 t

(s ) (s ) 1 s , Re[ s] jω 不定 ， 无界 ，

可见，对于因果信号，仅当 Re[s]= > 时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。

0

α

σ

收敛边界第5-5页■

收敛域

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信号与系统 电子教案 解

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拉普拉斯变换

例2 反因果信号f2(t)= e t (-t) ,求其拉普拉斯变换。e ( s )t F2b ( s ) e e st d t (s )0

t

0

1 [1 lim e ( )t e j t ] t (s )jω

, Re[ s ] . 无界 不定 ， 1 (s ) ,

可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]= < 时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。

0

β

σ

第5-6页

■

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拉普拉斯变换

例3 双边信号求其拉普拉斯变换。 e t , t 0 f 3 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) t e , t 0

求其拉普拉斯变换。

解 其双边拉普拉斯变换 F (s)=F (s)+F (s) b b1 b2 仅当 > 时，其收敛域 为 <Re[s]< 的一个带 状区域，如图所示。α jω

0

β

σ

第5-7页

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拉普拉斯变换

例4 求下列信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t) 解1 1 f1 (t ) F1 ( s) s 3 s 2 1 1 f 2 (t ) F2 ( s) s 3 s 2 1 1 f 3 (t ) F3 ( s) s 3 s 2

Re[s]= > – 2

Re[s]= < – 3 –3< <–2

可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。第5-8页■

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通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为

F (s) f (t ) e0

st

dt

称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。

三、单边拉氏变换简记为F(s)=£ [f(t)] F ( s) f (t ) e d t f(t)=£ -1[F(s)] 0 def 1 或 j st f (t ) F ( s ) e d s (t ) f(t)←→ F(s) j def

st

2 j

第5-9页

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四、常见函数的拉普拉斯变换1、 (t) ←→1, > -∞ 2、 (t)或1 ←→1/s , > 0 3、指数函数es0t1 ←→ s s0

> Re[s0]

0 sin 0t = (ej 0t– e-j 0t )/2

j ←→ 2 2 s 0第5-10页■

s cos 0t = (ej 0t+ e-j 0t )/2 ←→ 2 2 s 0

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5.1

拉普拉斯变换

4、周期信号fT(t)FT ( s) f T (t ) e st d t0

f T (t ) e d t st 0

T

2T

T

f T (t ) e d t ..... st n 0

( n 1)T

nT

f T (t ) e d t

st

令t t nT

en 0

nsT

T

0

1 f T (t ) e d t 1 e sT st

T

0

f T (t ) e st d t

特例： T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)

第5-11页

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拉普拉斯变换

五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系F (s) f (t ) e st d t0

Re[s]> 0

F (j ) f (t ) e

j t

dt

要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况： (1) 0<0,即F(s)的收敛域包含j 轴，则f(t)的傅里叶 变换存在，并且 F(j )=F(s) s=j 如f(t)=e-2t (t) ←→F(s)=1/(s+2) , >-2; 则 F(j )=1/( j +2)第5-12页■