线性代数期末考试试题及答案

1999级线性代数试题

一、判断题：（共24分）

1若A，B均为n阶方阵，则必有：（1）AB＝BA()（2）|AB|＝|BA|()（3）|A+B|＝|A|＋|B|()（4）(AB)T

=ATBT

()（5）

(A+B)2=A2+2AB+B2

(

)

（6）R（AB）＝R（BA）()

（7）若A2

＝0，则A＝0()

（8）若AT

A＝0，则A＝0()2（8分）若A是m×n矩阵，且m≠n，则

（1）当A的列向量组线性无关时，A的行向量组也线性无

关()

（2）当R(A)=n时，齐次线性方程组AX＝0只有零解

()

（3）当R(A)=n时，非齐次线性方程组AX＝b，有唯一解

()

（4）当R(A)=m时，非齐次线性方程组AX＝b，有无穷多

解()

3（8分）若A是实对称矩阵，则（1）A的特征值全为实数()

（2）A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正

()

（3）若|A|＞0，则A为正定的()

（4）在二次型f＝XTAX中，若经实满秩线性变换X＝CY，

可将f化为

标准形f=ky222

11+k2y2+ +knyn则k1,k2, ,kn全为A的

特征值()

二、填空题（19分）

1（4分）设A= x0 7y ,B= uv y2 3 4

,C= xv 且A ＋2B＝C，则x=_____,y=______,u=_____,v=_______

2（6分）若A为四阶方阵，且|A|＝3，A＊为A的伴随矩阵，则

|－2A|＝＿＿，|A－1|＝＿＿，|A＊|＝＿＿ 102

3

（3分）方阵A= 030 的特征值为＿＿，＿＿，＿

204 ＿

4

（4分）已知四元非线性方程组的系数矩阵A的秩为3，

η1,η2,η3是它的三个解向量，且

η1=(1,2,3,4)T,η2+η3=(2,3,4,5)T，则对应齐次方程组AX＝0的基础解系是＿＿＿＿，AX＝b的通解是＿＿＿5

二次型f=x2+2x22

12+x3+2x1x2 2x1x3 2x2x3所对应的

矩阵是＿＿

0123三、（10分）1、计算301

22

3011

2

3

34

00 2、已知A

= 4 300 求A 1及A

8

0014 0

1

223

四、（10分）设A= 110 ，且AB=A+B，求 13 B

1 五、（15分）验证二次型

f=5x2+5x2x2

12+33 2x1x2+6x1x3 6x2x3的特征值为

4，9，0，求一个正交变换，将此二次型化为标准形。（要求写出正交变换矩阵及f的标准形）

六、(12分)设α 1 2 a 1

1= 1 ，α2= 1 ，α3= 2 ，β= 0

4 5 10 b

试问当a，b满足什么条件时，

（1）β可由α1,α2,α3线性表示，且表示式唯一；

（2）β不可由α1,α2,α3线性表示

（3）β可由α1,α2,α3线性表示，但表示式不唯一写出一般表达式

七、（10分）证明题

1若A，B均为n阶正交矩阵，试证明AB也是正交矩阵。

2

若ξ1和ξ2是齐次线性方程组AX=0的基础解系，

η1=ξ1+ξ2，η2=ξ1 ξ2,试证明η1,η2也是AX=0

的基础解系。

1999级线性代数参考答案

一、1、×√×××××√

2、×√×√3、√√××

二、1、-5，-6，4，-2

2、48，1

3

，27

3、3，0，5

0 4、η= 1

，kη+η1

2 3

-1-

11 1 5、 12 1

1 11 三、解：1、

01236666111

1111301230123122301=

2301=602301=60 3 201 2123

012

3

012

3

00121

111=601 2 1

0040= 96

000 4

2、记B= 34 4 3 、C= 14 0 1 则：B 1

=1 25 34 4 3

、C 1= 14

0 1

,B=25、C= 1

342500

1

B 1

故：A= 25

4

C 1 = 300 25 ，

025

14

1 0 000 1

11A8

=(BC)8=258

1

四、解：由AB=A+B可得：B=(A E) 1

A= 110 2 4 3

133 五、解：该二次型的矩阵为：A= 5 13

15 3

3 33 由特征方程

5 λ 13

A λE= 15 λ 3=(4 λ)λ(λ 9)=0

3 33 λ

得特征值λ1=4,λ2=9,λ3=0

-2-

当λ1=4，解齐次方程(A 4E)x=0 1 13 1 13

A 4E= 11 3 → 00 3 1 0

3 00 4 基础解系ξ1=(110)

T

单位化：p11 1

1=ξ1= 1

12 0

当λ2=9，解齐次方程(A 9E)x=0 4 13 A 9E= 1 4 3 1 4 3

→ 011 3 6

3 000 基础解系ξ2=(1 11)

T

单位化：p11 1

2=ξ2= 1

23 1

当λ3=0，解齐次方程Ax=0

5 13 15 A= 15 3 3

→ 02 1

3 33 000 基础解系ξT

3=( 112)显然，该向量组两两正交，单位化得：

p11 1 3=ξ3=6 1

3 2

记P=( 26 p1,p2,p3)=

3 2 6 ，

03

6

于是正交变换为：X=PY，且有f=4y22

1+9y2.

1 2a1

六、解：(α1α2α3

β)= 1120 4510b

-3-

1120 r2+r1 11

20 r 2 r3→ 1 2a1 r 3 4 r1→ 4510b 0 1a+21 012b

1120 r 3+ r2→ 0 1a+21

a+4b+1

00

所以：当a≠ 4时，β可由α1α2α3线性表示，且表达式唯一；

当a= 4,b≠ 1时，β不可由α1α2α3线性表示；当a= 4,b= 1时，β可由α1α2α3线性表示，且表达式不唯一。

当a= 4,b= 1时，由β=k1α1+k2α2+k3α3得通解为：

k1 1

k = 2k 1 2 ,k∈R k3 k

故：一般表达式为：β=α1+(2k 1)α2+kα3

七、证明：

1、由于AAT=E、BBT=E，所以

(AB)(AB)T=ABBTAT=AAT=E

∴

AB也是正交矩阵。

2、由于η1,η2可由ξ1,ξ2线性表示，并且

ξη1+η21=

，ξη1

η2

22=2

∴ξ1,ξ2也可由η1,η2线性表示∴向量组ξ1,ξ2与向量组η1,η2等价

∴

η1,η2也是AX=0的基础解系

2000级线性代数试卷

一、判断题（每小题2分，共14分）

1．设方阵A满足AA=A，则必有A=O或A=E

-4-

2．设A，B是不可逆的同阶方阵，则A=B

3．向量组αTαTT

1=(2,6),2=(1,5),α3=(3,1)是线性相关的

向量组

4．齐次线性方程组AX=0若有两个不同的解，它就有

无穷多个解

5．方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值不全为零6．对称矩阵A正定的充分必要条件是A>0

7．若方阵A与B相似，则Am与Bm也相似，其中m为正整数.

二、填空题（每小题2分，共24分）

01．设A= 01 020

，则A=_____；A 1=_____

300 2．A≠0，且AB=C，则B=____；又若C=O，则B=____3．齐次线性方程组Am×nXn×1=0有非零解的充分必要

条件是_______

4．若方阵A满足ATA=E，则称A为_______；此时

A=______

5．若B 1n×n=PAn×nP，B的特征值是1，2，3，则A的特征值是_______

100 106．设A= 001 与设Λ= 0

010

相似，则其中

01a 00 1

a …… 此处隐藏：7788字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……