1.4.1-1.4.2任意角的正弦函数、余弦函数的定义及单位圆与周期性

§1.4.1~ §1.4.2

任意角的正弦 函数、余弦函数的 定义及单位圆与周 期性

创设情境，复习引入你能回忆一下锐角的正弦、余弦的定义吗?

斜边

对边 邻边

对边 邻边 斜边 斜边 sin _____;cos _____;

你能把锐角的正弦、余弦坐标化吗？yP(u,v)

O

xM (u,0)

2 2 cos u 2 v2 sin _____; _____; u v

v

u

探究新知

下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来 进一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数。当点P(u,v) 就是 的终边与单位圆(查自学效果) 的交点时,锐角三角函数会有什么结果？ y 以原点为O圆心，以单位长 度为半径的圆叫做单位圆. P(u,v)MP sin v, OP OM cos u, OPα O M A(1,0) x

探究新知 一、任意角的正弦函数、余弦函数定义： 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆 交于点P(u,v),那么： (1)v叫做α的正弦，记 作sinα, 即sinα=v;y P(u,v)

(2)u叫做α的余弦，记作 cosα,即cosα=u(查自学效果)

αO

A(1,0) x

探究、发现新知 注：三角函数 sinα=v,cosα=u都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数。通常，我们用x表 示自变量，即表示角的大小(弧度制),用y表示函数值，这 样就定义了任意角的三角函数y=sinx,y=cosx。

函数 你能完成右边 这两张表吗？sin

定义域

值域

R R第二 象限

cos 象限 第一 三角函 象限 数

[-1,1] [-1,1]第三 象限 第四 象限

观看：多媒体演示1 多媒体演示2

sin cos

+ +

+ -

-

+

典例剖析5 例1、求 的正弦值和余弦值。 3

y

解：如左图所示，角在第四象限；

αO

M

A(1,0) x P1 3 ( , ) 2 2

的交点为 P ( 1 , 3 ) 2 2

5 易知 3 的终边与单位圆

3 sin 2

1 cos 2

随堂演练练1、求 3

的正弦值和余弦值。

回顾归纳: 求已经角的三角函数确定角的终边是础， 求出角终边与单位圆的交点坐标是关键。

典例剖析例2、已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α 的正弦、余弦。解：设角α 的终边与单位圆的交点为y P(x,y),过P作PM⊥x轴于M,过P0作P0 M0 ⊥x轴. 显然Rt OMP∽ Rt OM0P0 且 2 2| OP0 | ( 3) ( 4) 5 | MP | | M 0 P0 | 4 | MP | 5 | OP0 | | OP |

M0

O A(1,0) x sin y P(x,y)

M

α

P0(-3,-4)

cos x | OM |

| OM | | OM 0 | 3 | OP | | OP0 | 5

随堂演练 练2: 已知角α的终边经过点P(-3,2),求角 α的正弦、余弦。

回顾归纳: 已经角终边的一个点P ,利用三角函数 的定义求其三角函数，需要确定三个量：角的终边 该点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r。

典例剖析例3 确定下列各三角函数值的符号：

⑴ cos250°; ⑵ sin(-π/4)。解： (1)易知250°为第三象限角，所以 cos250°的符号为负； (2)易知-π/4为第四象限角，所以sin(-π/4) 的符号为负； 回顾归纳： 准确确定三角函数值中角所在象限是基础， 准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关 键。可以利用口诀“一全正、二正弦、四余弦”来记 忆.

发现新知

二、三角函数的周期性由任意角的正弦、余弦函数定义不难发现：终边相同 的角的三角函数值相等，即：

一般地，对于函数 f (x),如果存在非零实数T, 对定义域内的任意一个 x 值，都有 f ( x T ) f ( x) 我们就把函数称为周期函数，T称为这个函数的周 期。

最小正周期的概念：对于一个周期函数f(x),如果它所有 的周期中存在一个最小的正数，那么这个 最小正数叫f(x)的最小正周期.

典例剖析例4:求三角函数值 sin(-1050°)。解： 因为 -1050°= 30°+(-3)× 360° =π/6+(-3) × 2π 所以sin(-1050°)= sin π/6=1/2

31 练3:求三角函数值 cos( ) 4

。

解：

cos(

31 2 ) cos( 4 2 ) cos 4 4 4 2

3.完成教材P15 动手实践：填表格1-5。

本堂小结1.任意角的正弦、余弦函数的定义： 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u,v),则 sin v,cos u 2.计算任意角的正弦、余弦函数值。 3.周期函数、最小正周期的概念。正弦函数和 余弦函数都是周期函数。作 业：教材P16 练习 1 、3(1)(3)