矩阵论、数值分析复习

矩阵论、数值分析复习

矩阵论复习一、线性空间(子空间)的基与维数的求法、直和的概念二、两个基之间过渡矩阵的求法三、线性变换的概念及其矩阵表示线性变换的特征值、特征向量的计算四、特征多项式与最小多项式、Cayley-Hamilton定理的简单应用五、会求可逆矩阵将方阵化为Jordan标准型六、向量与矩阵的范数、条件数的概念与计算七、矩阵的三角分解

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数值分析复习一误差分析 1舍入误差、截断误差、有效数字； 2数值计算的一些原则；如：P10-例1.3、例1.6。 3数值计算的稳定性。

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二.插值法 1.插值的概念： (1)问题的引出； (2)唯一性：待定系数法；反证法。 2.构造插值多项式的方法： (1)待定系数法； (2)基函数法； (3)承袭性思想。

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3插值的分类： (1)不含导数插值条件(Lagrange型插值); Lagrange插值公式、Newton插值公式。 (2)含导数插值条件(Hermite插值);构造法、带重节点的Newton插值法。 4余项表达式、截断误差估计、总的误差界。 5各阶差分、差商的定义、基本性质。 6三次样条插值。 7例.

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三、函数逼近⒈概念最佳平方逼近

{连续

离散

⒉正交多项式：①定义；②性质；③特点 p60.性质4

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⒊最佳平方逼近多项式的寻求：教 p58.例3.1

①基底

{1, x, x,L, x};

2

n

教 p62.例3.2例3.3

②正交多项式作为基底。

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⒋最小二乘拟合问题：①给出数据能求出拟合曲线；②会解矛盾方程；教p68.例3.6

教P66.例3.4,3.5,3.7

教p71.例3.8

③正交多项式在曲线拟合中的应用。

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四、数值积分1、基本概念： (1)代数精度； (2)插值型求积公式； (3)复化求积公式； (4)Gauss型求积公式； (5)收敛阶(复化); (6)计算的稳定性。

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2、构造求积公式的方法： (1)待定系数(利用代精);{求积节点给定;求积节点、系数均未给定 .

教P86,例4.2

(2)插值型求积公式；b A=∫ l ( x)dx k ak

n x x j l ( x)=∏ x x k j=1 k j例：P91例4.4 j≠k

P90

(3)Newton-Cotes公式；{ (节点等距),几种低阶，梯形

simpson

及余项。

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3、提高求积公式精度的方法： (1)增加求积节点及采用Gauss型求积公式； (2)构造复化求积公式；误差的{先验误差事后误差估计

P92,93例：P94.例4.5 P95,96

(3)线性外推公式、Romberg算法。

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4、Gauss型求积公式： (1)Gauss点的概念及其有关定理；系数特点稳定、收敛

(2)利用正交多项式构造Gauss求积公式；例：P103例4.11例：P105例4.12

(3)利用Gauss型求积公式构造奇异积分的数值方法。

5、例。

例：P107例4.14

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五、常微分方程数值解⒈将方程离散化的三种方法。⒉掌握Euler法和改进的Euler法、隐式Euler法和梯形法的基本公式和构造。⒊领会R-

K方法的基本思想，会进行二阶R-K方法 p131-133的推导。⒋会求差分格式的局部截断误差及方法的阶。⒌能利用单步法收敛定理判断方法的收敛性。⒍能给出一般单步法的绝对稳定性区域(区间)。

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⒎掌握线性多步法的构造原理，能构造线性多步格式。 P142.例5.10

⒏会利用差分格式的预测——校正技术，能利用外推技术获得预测——改进——校正——改进方案。 9.例.P144.

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六、线性代数方程组的解法A.直接法、⒈方法：① Gauss顺序消去法；②列主元Gauss消去法；③直接三角分解法(不选主元);④平方根法和改进的平方根法；⑤追赶法。

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⒉以上各方法的算法步骤。⒊误差分析。⒋向量、矩阵的范数、条件数、谱半径。⒌矩阵的三角分解定理。 B.迭代法、⒈方法： 1 B① Jacobi迭代法； J= D ( L+ U )

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② Gauss-Seidel迭代， G= ( D+ L) 1U B③ SOR方法， S= (D+ L)1[ (1 )D U] B⒉上述三种方法的算法步骤。⒊收敛性定理：①充要条件；ρ ( B)< 1 B<1②充分条件；③系数矩阵A严格对角占优，则Jacobi迭代、G-S迭代必收敛。