离散数学试题1套

离散数学试题1套

《离散数学试题1套》

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列语句中，( )是命题。

A. 请把门关上

B. 地球外的星球上也有人

C. x + 5 > 6

D. 下午有会吗？

2. 命题公式﹁B →﹁A 等价于( )

A. ﹁A ∨﹁B

B. ﹁(A ∨B)

C. ﹁A ∧﹁B

D. A →B

3. 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b}, 0 1 0 1b)

P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P ，则在解释I 下取真值为1的公式是(

). A. ?x ?yP(x,y) B. ?x ?yP(x,y)

C. ?xP(x,x)

D. ?x ?yP(x,y)

4. 下列说法正确的是 ( ).

A ．若C A ∈?∈则及C

B B A B ．若

C A ??∈则及C B B A

C ．若C A ∈∈?则及C B B A

D ．若C A ?∈?则及C B B A

5． 下列说法错误的是 ( ).

A ．)(}{ΦP ∈Φ

B ．})({ΦP ?Φ

C ．}{)(Φ?ΦP

D ．})({)(ΦP ∈ΦP

6．设} 2} {1 {1} {，，，Φ=A ，P(A)为A 的幂集，则P(A)的元素个数为( ).

A ．3

B ．6

C ．7

D ．8

7. 集合A 的一个划分，确定A 的元素间的关系为( ).

A ．全序关系

B ．等价关系

C ．偏序关系

D ．拟序关系

8. 下列函数中为双射的是( ).

A ．3 (mod) )( , :j j f I I f =→

B ．是偶数，是奇数

，j j j f N N f 01)( ,:=→

C ．1|2| )( ,:+=→i i f N I f

D ．152)( ,:-=→r r f R R f

9. 设I 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集；下列代数结构为群的是( ).

(1)>+< ，I (2)>?< ，I

(3)>?< ，Q (4)>+< ，R

A ．无

B ．(1)、(4)

C ．(1)、(3)、(4)

D ．全体都是

10. 设简单图G 所有结点的度之和为12，则G 一定有( ).

A ．3条边

B ．4条边

C ．5条边

D ．6条边

二、填空题（每题3分，共24分）

1. 设S(x)∶x 是大学生；K(x)∶x 是运动员。则命题：“有些运动员不是大学生”的

符号化为 .

2. 已知命题公式G ?(?P →Q)∧R ，则G 的主析取范式是 .

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3. 将公式化为等价的前束范式: ?xF(x)∧??xG(x)? .

4. 设} 4 3 2 1 {，，，=A ，A A R ??，},|,{R b a b a b a R ∈<><=，， 则domR= ，ranR= .

5. 设A 为非空集合，P(A)为A 的幂集，则对于P(A)中的二元运算：?⊕，

，求运算 ⊕ 的幺元 ，运算? 的幺元 .

6.设

} 3 3 4 2 2 1 {><><><=，，，，，P } 2 4 4 2 3 1 {><><><=，，，，，Q 则

)(Q P dom ?= ，

)(Q P ran ?= .

7. 设} 5 4 3 2 1

{，，，，=A ，A A R ??，} 2 2 4 3 2 1 {><><><=，，，，，R 求)(R r = ，)(R s =

8. 设G 是完全二叉树，G 有15个点，其中8个叶点，则G 的总度数为__________， 分枝点数为________________.

三、计算题（每题6分，共18分） 1. 设集合} b {，

a A =，P(A)为A 的幂集，求笛卡尔积A A ?P )(.

2. 设} 24 12 8 6 4 3 2 1

{，，，，，，，=A ，}/|{整数，=><=x y y x R ，试求： (1) 作出〈A ，R 〉的哈斯图

(2) 求A 的最大元、最小元、上界、下界

3. 已知群>+<66 ，Z 其中加法为模，，，，，，6 } 5 4 3 2 1 0{66+=Z ；

(1) 列出运算表；

(2) 求该群的所有子群

四、证明题（共28分）

1. (5分)在命题逻辑中构造下面推理的证明：

前提：p →┐q, ┐r ∨q, r ∧┐s

结论：┐p

2．(5分)证明：(?x )(H (x )→M (x ))，(?x )H (x )?(?x )M (x )

2. (5分)设A={1，2，3，4}，关系)A A ()A A (R ????，

}A d ,c ,b ,a |,,,{R ∈+=+>><><<=，c b d a d c b a ，证明：R 是等价关系

3. (5分)设Z 是整数集合，在Z 上定义二元运算如下：x * y = x + y – 2，

证明：〈Z ，*〉是群。

4. (8分)设<A ，+，?>是一个环, 并且对于任何a ∈A ，有a ?a=a ，证明

(1)对于任何a ∈A ，都有a+a=θ，其中θ是+的幺元；

(2)<A ，+，?>是一个交换环。