2017全国研究生数学建模E题论文(一等奖)(2)

桌子高度（cm） 桌子半径（cm） 桌子直径（cm） 桌子厚度(cm)

第n根木条到木板边沿的距离(cm) 第n根木条顶点位置到圆面轴线径向距离(cm)

第n根木条与水平面的夹角(度) 第n根木条开槽长度（cm）

四、问题分析

4.1问题一分析

题目要求建立模型描述折叠桌的动态变化图，由于在折叠时用力大小的不同，我们不能描述在某一时刻折叠桌的具体形态，但我们可以用每根木条的角度变化来描述折叠桌的动态变化。首先，我们知道折叠桌前后左右对称，我们可以运用几何知识求出四分之一木条的角度变化。最后，根据初始时刻和最终形态两种状态求出桌腿木条开槽的长度。

篇二：2015年全国研究生数学建模比赛E题解答

参赛密码

（由组委会填写）

第十二届“中关村青联杯”全国研究生

数学建模竞赛

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（由组委会填写）

第十二届“中关村青联杯”全国研究生

数学建模竞赛

题目数控加工刀具运动的优化控制

摘要：

本文基于计算机数控系统的工作原理，建立了刀具运动的优化控制模型，目的在于寻求机床刀具在单个坐标轴方向上的运动合理控制，从而增强机床运行的平稳性。主要运用了S型曲线的加减速控制方法，建立了通用模型，该模型可通过已经设定的刀具加工路径，得出机床运动过程中任意一点的速度，从而验证所设定的符合加减速控制原理，得到最优的数控加工刀具的路径。在该通用模型中，机床控制的加速度和速度都是连续变化的，因此通过渐变控制使机床运动按S型曲线式平稳变化，保证了速度的光顺及加速度的连续，提高了机床运动的平稳性，运用该模型，可以帮助寻找最优刀具路径，从而实现数控刀具加工的优化。

本论文的创新点在于模型适用范围广，突破了速度范围和加速度的限制不仅适用于S型曲线七阶段的加减速，而且适用于平稳性更强的五阶段和三阶段的S型曲线加减速控制路径。

论文中主要采用了力学分析建模、直线插补法建模和最优化方法建模。在直线插补模型中，不论运行轨迹是直线还是曲线，刀具的运行都是按阶梯形路径行走，用步长乘以步数即可求得刀具的运行长度。并且每一步长的增量均为分辨率?x,?y,?z，并且每个增量的长度均为分辨率的整数倍。根据此原理，采用直线插补法，建模可画出刀具沿轨迹的路径变化，在模型中输入刀具起点坐标和终点坐标即可求得刀具沿路径运行的长度。

对于问题一：根据问题二的相关提示，我们设定加工线型分别为正方形和八边形即转角分别为90°和135°，然后根据S型曲线的减加速控制方法，建立了力学分析模型，再运用牛顿第二定理和受力分析可得出速度变化特征。分别对刀

具在拐角为90°和135°处进行受力分析得到结果：转角为90°时的合力

1.414F2>0.765F2(135°转角处的合力)，所以当刀具经过90°转角时，速度变化大于135°转角的速度。

对于问题二：由于问题一建立的模型是根据问题二设定的，再加上附录的提示，问题一所建立的通用模型可直接套用在问题二上，所以我们依据题目要求和模型特点，讨论了圆弧半径的变化对算法效率的影响，继而用该通用模型和已知路径各点间的路程（运动距离）S，计算出对应的速度V，然后与表格中的已知速度V’进行核对，从而检验了所给的加工路径，V’越接近V，则路径越符合加减速数控机床的运动平稳。通过讨论，我们得到结论：在1点到11点的运动路径下，半径的变化范围是r∈ [0,L]。当半径r越大，则S越小，所运用的计算情况2

越简单，计算时间越短，计算效率越高；当半径r越小，则S越大，所运用的计算情况越复杂，计算时间越长，计算效率越低。

对于问题三：我们在模型二的基础上考虑了瞬时启动加速度及瞬时启动速度，所以在模型中加入了瞬时启动加速度运动段，丰富了模型的通用性之后，依照问题二的检验步骤，检验了加工路径示例。此情况下，节点1以瞬时起始速度0.13m/min运动至2.3192×10?3cm时提高到0.19m/min,然后保持0.19m/min的速度匀速运行到节点2，然后从节点2以速度0.19m/min运行到0.27881cm处速度加至1.26m/min，然后保持1.26m/min的速度一直运行到节点5。从节点5至节点11的运动轨迹及速度与前半段路径对称。

对于问题四：在问题一、问题二、问题三的基础上，我们去掉了S型加减速控制方法阶段中的第二阶段（匀加速阶段）和第六阶段（匀减速阶段），满足精度和速度的要求，建立了模型，并大量搜取相关计算机数控加工同的文献，讨论了该模型对提高机床运行平稳性的优缺点。讨论优点结果为S曲线加减速可以克服直线加减速方法的缺点，保证了加速度和速度的连续，满足了系统的稳定性和加减速的要求。缺点有三，首先使用S型加减速方法时速度的变化相当快，但由于存在加速度突变从而产生冲击，因此不适用于高速数控系统；其次对于传统普通的S型曲线加减速法，其通过对加速阶段及减速阶段进行平滑处理来减少机床的冲击，然而其加减速阶段存在突变以及加加速并不连续，从而使机床柔性受到限制；最后，由于其参数比较多，计算相对复杂，不能满足高性能数控实时性的要求。

关键词：直线插补法 最优化模型 S型曲线加减速 数控加工

1.问题重述

1.1问题背景

近年来，随着计算机技术的发展，数字控制技术已经广泛应用于工业控制的各个领域，尤其是机械制造业中，普通机械正逐渐被高效率、高精度、高自动化的数控机械所代替。这种高速高效高精度的技术即被称为数控加工技术，高速加工要求机床各运动轴都能够在极短的时间内达到高速运行状态并实现高速准停，研究开发数控加工刀具运动满足高速、高精度要求的、有效柔性加减速控制方法，已成为现代高性能数控系统研究的重点。

在本文中，我们考虑加工刀具在数控机床所提供的精度、速度、加速度等限制条件下，对机床刀具在各坐标轴方向上的运动进行建模并合理控制，进而优化其加工效率。

1.1.1计算机数控系统工作原理及难点：

原理为首先通过计算机组成的数控编程系统对读入的零件信息进行存储和译码等处理后通过输入装置将它们传输给加工控制系统，然后由数控系统对输入的指令进行信息处理和轨迹插补计算出数控机床各坐标轴方向上刀具运动的控制信息，进而通过机床驱动以及机床运动将刀具在各坐标轴方向上的运动合成为刀具实际加工轨迹和速度控制，加工出所需的工件。 …… 此处隐藏：959字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……