哈工大概率论小论文

篇一：哈工大概率论小论文

概率论课程小论文

计算机科学与技术学院

信息安全专业一班(1303201)

姓名：宫庆红

学号：1130320103

概率论中用到的几种数学思想

作为数学中的一个重要分支，概率论同时用到了其他几种数学思想。本文着重从数学归纳法、集合论和微积分等几个方面进行简单的讨论。

一．概率论中的数学归纳法思想

在概率问题中常会遇到一些与试验次数无关的重要结论, 这些结论在使用数学归纳法来证明时, 常常需要配合使用全概率公式, 从而使概率论中的数学归纳法具有自己的特色。

例l 设有冷个罐子, 在每一个罐子中各有m 个白球与k 个黑球, 从第一个罐子中任取一球放入第二个罐子中, 并依次类推。求从最后一个罐子中取出一个白球的概率。

分析: 先探索规律, 设n =2

令 H1=“ 从第一个罐子中取出一个球, 是白球”

H2=“ 从第二个罐子中取出一个球, 是白球”

显然P(H1)=m

m?k,所求之概率

P(HL)=P(H1)P(H2|H1)+P(H1’)P(H2|H1)

=mm?1kmm???? m?km?k?1m?km?k?1m?k

这恰与n=1时的结论是一样的，于是可以预见，不管n为什么自然数，所求的概率都应是m。 m?k

上述预测的正确性是很容易用大家所熟知的数学归纳法来证明的。事实上，另Hi=“从i个罐子中去除一个球，是白球”(i=1,2,……n)设当n=t时，结论成立，即 P(Ht)=m m?k

则当n=t+1时，有

P(Ht+1)=P(Ht)P(Ht+1|Ht)+P(Ht’)P(Ht+1|Ht’) mm?1kmm???? m?km?k?1m?km?k?1m?k

k于是，结论P(Hn)=对任意自然数n都是成立的。 m?k =

不难看出，在这里数学归纳法之所以能顺利进行，那是由于在知道从第t个罐中取出的球的颜色（比如是白球）之后，第t+1罐的新总体成分就完全清楚了。（相当于从第t罐取出的是白球，这时新的第t+1罐中就有m+1个白球，k个黑球）所以相应的条件概率P(Ht+1|Ht)=m?1m(或P(Ht|Ht’)=)也就随之而得了。 m?k?1m?k?1

二．概率论中的微积分思想

在我们现阶段所学习的概率论课程中，微积分是重要的基础。如何正确、巧妙地运用微积分方法和技巧是值得重视的问题。现在，简单归纳一些问题来说明微积分方法在概率论中有着广泛的应用。 幂级数方法

例1 设随机变量ξ服从参数为（r,p）的负二项分布，（r≧1,0<p<1）,即

P{ξ=m}=Cm?1pr?1rqm?r,m=r,r+1,……q=1-p,

求E(ξ).

解 这道题的解题过程中要用到公式 1

(1?x)??Cmxr?1

m?r?rm?r。 ?1n这个公式是有??x(0?x?1)连续逐项求导r次后得到的。事1?xn?0

实上E(?)??mCm?1pr?1m?r?rqm?r?rp?Cqrm?rmr?m?r?rpr1(1?q)?r?1r. p

三．概率论中的集合论思想

集合论是在十九世纪末由德国数学家康托创立的, 以后逐步发展形成一门独立学科, 现已渗透到数学的各个分支。早在上世纪30 年代初, 冯#米泽斯就开始用集合论观点研究事件。以下主要探讨集合论观点在概率论中的应用。概率论中有关事件与概率部分内容, 概念、公式繁多, 难以理解,以下结合集合论知识可直观地理解概率论中基本知识。

1 集合及运算

1.1集合及事件。

集合是一个原始概念, 康托曾这样描述过它: 集合就是由某些确定的能够区分的对象( 具体的或抽象的事物) 汇集而成的一个整体。组成集合的每一个对象( 事物) 称为该集合的元素。如果集合A 中的所有元素都是集合B 的元素, 称A 为B 的子集。

概率论中引进集合论, 用集合来研究事件, 使得概率论的研究更加严格化。将随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间, 用Ω表示。样本空间的每一个元素即试验的每一个可能的结果,

称为基本事件或样本点, 用w 表示。而随机事件由若干个基本事件组成, 可看作样本空间的一个子集, 用A 、B 、C 表示。在一次试验中出现的样本点w?A? 事件A 发生, 反之, 若w?A?事件A 不发生。Ω是自身的子集, 每次试验中必然发生, 称必然事件。空集?也是样本空间的子集, 在每次试验中不可能发生, 称不可能事件。

1.2集合的关系及运算。

集合的关系和运算有: 包含、相等、并、交、差、补、对称差。而用集合论观点定义的事件也有相应的关系及运算: 包含、相等、和、交、互不相容、差、对立、对称差。集合论中, 通常用文氏图来表示集合间的关系及运算, 全集U 用一个矩形表示, 矩形中的点表示元素, 每个子集用该矩形内的闭区域( 常用圆形区域) 表示。类似地, 当事件间的关系及运算借助于文氏图来表示时, 就比较直观,易于理解、掌握。

1.3 运算律。

集合的运算律对事件同样适用, 运算律包括否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律和对偶原则。

以上性质关于和与交的等式有一特点, 等式都是配对出现的, 把其中一个等式中的运算和换成交,交换成和, 那么便得到另一等式, 这种性质称为对偶性质, 和与交是一对对偶运算。而关于差, 对称差就没有这种对偶性质, 如分配律, 有C ( A - B ) = CA - CB 成立, 即交对差的分配律成立, 而和对差的分配律不成交。有A(B?C) = ( AB)?( AC ) 成立, 交关于对称差的分配律成立, 而和关于对称差

篇二：哈工大概率论小论文

Harbin Institute of Technology

概率论与数理统计

结课论文

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完成时间：

哈尔滨工业大学

通过一个学习跟着王老师学习概率论与数理统计，发现概率论与数理统计和以前学的工数、线数有很大的区别，概率论与数理统计研究的不再是一个确定的值，而是发生一个事件概率的大小，是一个估计量。概率统计抛弃了数学中的“确定性”，以“不确定性”的视角看待世界，我觉得工数等都是研究数学公理，但概率论与数理统计是真正贴近日常生活中的人类感知的。通过查阅资料发现概率论是一门研究随机现象现象统计规律的一门数学学科，并且广泛应用于控制、通信、生物、物理、力学、社会科学以及其他工程技术等诸多领域中获得了广泛的应用。自然界的现象可以分为确定性现象和随机现象两大类。对于确定的现象就是现象就是在一定条件下必然现象，例如：太阳东升西落，水从高处流向低处等。而随机现象指的是在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，例如：抛一枚硬币，可能是正面也可能是反面；抛一个骰子，观察出现的点数，可能是1，2，3，4，5，6中任意一点，也就是条件不能完全决定结果。我发现问题不在简单，通过老师的讲解，我发现生活中好多地方都应用了概率论与数理统计的知识，下面我就选择几个我比较感兴趣的方面谈一谈自己的看法和感受。 …… 此处隐藏：1371字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……