高一数学必修四诱导公式(2)

教学设计

一、问题情境

教师提出系列问题

1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？

2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？

3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由．

二、建立模型

1. 分析1

在教师的指导下，学生独立推出公式（一），即

2. 应用1

在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．

练习：求下列各三角函数值．

（1）cos

3. 分析2 π． （2）tan405°．

如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？

引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：

cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，

cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，

cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝

4. 分析3 ．

一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生独立完成下述推导：

设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．

由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．

又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝

（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝

从而得到：

． ，cos（180°＋α）＝－x，sin

5. 分析4

在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．

由学生独立完成如下推导：

如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，

sin（－α）＝－y，tan（－α）＝

从而得到：

进而推出：

注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．

6. 教师归纳

公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？这种变化是否存在着某种规律？

引导学生进行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．

三、解释应用

［例 题］

1. 求下列各三角函数值．

通过应用，让学生体会诱导公式的作用：

①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为