第4章传递函数矩阵的状态空间实现

线性系统理论 郑大钟版

第四章传递函数矩阵的

状态空间实现

4.1 实现的基本概念和属性

4.2 有理分式传递函数矩阵的典型实现4.3 基于MFD的典型实现4.4 不可简约MFD的最小实现

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4.1 实现的基本概念和属性

一实现的定义和属性1 实现的定义

假设已知线性定常系统的传递函数阵G(s)，若找到状态空间模型{A,B,C,E}使得

G(s) C(sI A)B E

1

成立，则称此状态空间模型为已知的传递函数矩阵的一个状态空间实现。

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2 实现的属性 ：

实现维数=dimA

：

维数可不同，同维的参数也可不同

对于传递函数阵G(s)的一个维数最低的实现，称为G(s)的最小实现或不可约简实现。

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二最小实现的相关定理

：

设严格真有理函数阵G(s)的实现为{A,B,C},则其为最小实现的充要条件是{A,B,C}既对给定的传递函数矩阵G(s),其最小实现不是唯一的，但所有

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：

设分子分母互质的真有理函数g(s)的实现是{A,b,c,d},当且仅当时，实现{A,b,c,d}是g(s)的最小实现。：

设真有理函数矩阵G(s)的实现是{A,B,C,D},当且仅当时，实现{A,B,C,D}是G(s)的最小实现。

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三能控类实现和能观测类实现

{A,B,C，E}为G(s)的一个能控类实现的充要条件是：

G(s) C(sI A)B E{A,B}能

控且有指定形式

1

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{A,B,C，E}为G(s)的一个能观类实现的充要条件是：

G(s) C(sI A)B E{A,C}能观且有特定形式

1

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4.2有理分式传递函数矩阵的典型实现

一

标量传递函数的典型实现

能控规范形实现 能观测规范形实现

并联形实现（约当形实现） 串联形实现

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二传递函数矩阵的典型实现G(s)----严格真，有理分式形式表达，即

G ( s ) [ g ij ( s )], i 1, 2, q; j 1, 2, p;令 d ( s )为 g ij ( s )的最小公分母,记为 d ( s ) s k k 1 s k 1 1 s 0则 G ( s )可表为 1 1 G (s) P(s) [ Pk 1 s k 1 P1 s P0] d (s) d (s)形式上类似于 SISO系统的传递函数,只不过分子的系数变成了矩阵 .

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1. 能控形实现

Ip 0p p

0

Akp kp

0

0Ip 1Ip

C [P0,P1, ,Pk 1]q kp

Ip

0

0 ,Bkp p

0Ip

I k 1Ip p

注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵.

(2)一定是能控的,但不一定是能观的.

(3)由此求最小实现时,要按能观性进行结构分解.

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2. 能观测形实现

0q q0 0 I q

IqAkq kq

0

Iq

C [0,0, ,0,Iq]q kq

0Iq P0

P 1Iq

1

,Bkq p

P

k 2 P k 1Iq 1k

注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵.

(2)一定是能观的,但不一定是控的.

(3)由此求最小实现时,要按能控性进行结构分解.(4)维数与能控性实现可能不同.

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4.3 基于MFD的典型实现

G(s)q p严格真

右MFD:G(s) N(s)D(s)左MFD:G(s) A(s)B(s)

1

1

D(s)列既约,控制器形实现A(s)行既约,观测器形实现

一. 构造控制器形实现

1控制器实现的定义

G(s) N(s)D(s)严格真,D(s)列既约, ciD(s) ki,i 1,2, ,p

1

称一个状态空间描述

p

Acx Bcuxy Ccx

为控制器形实现,

其中dimA k n,C(sI A) 1B N(s)D 1(s)

icccc

i 1

{Ac,Bc}为完全能控且具有指定形式

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2 MFD的核

引入列次表达式：

s s 1

(s)

k1 1

D(s) DhcS(s) Dlc (s)N(s) Nlc (s) s S(s)

k1

p

kn , i kp i 1s

kp 1

s

s 1

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可导出构造 ( s) u

( Ac, Bc, Cc ) 0 ( s ) u

的结构图 0 (s) y

D

1 hc

( s ) S 1 ( s )

N lc

(s) y

1 Dhc Dlc

称

( s ) S 1 ( s )

为核心右MFD。

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1 ( s ) ( s ) N ( s ) y s N s D ( ) ( ) ( s )u ( s) D( s ) ( s ) u ( s ) u [ Dhc S ( s ) Dlc ( s )] (s) ( s ) y ( s ) N lc ( s ) 0 ( s ) y 1 1 (s) S ( s ) ( s ) Dhc Dlc ( s ) ( s ) Dhc u 0 ( s ) u

( s ) u 0 ( s ) S ( s ) (核) ( s ) y s s ( ) ( ) 0 1 1 ( s) u0 ( s ) Dhc Dlc ( s ) ( s ) Dhc u (外围) ( s ) N lc y 0 ( s) y

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3 核实现(Aoc,B

,C)的构造

1

ococ

只要构造出 (s)S(s)的实现,后面就只是代数运算了. (s) 1 0(s) S(s) (s) u (s) 核: , (s) yss ()() (s) 0

p s

k1

k1 1(s)s 1(s)

u(s) u00(s)

kp kp s p(s) s(s) p

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s s 1

0(s) y

k1 1

(s) sk1 1 1 1(s) (s) 1 (s) 2 kp 1 kp 1 s p(s)s

(s) p

(s)s p

1

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定义状态变量

1 ( k1 1) ( k1 ) 1 (k2 ) 1 2 0 推出 u 0 ,取 x y0 ( k p 1) (k p ) p p p y 0 I n x 0 C c0 x 0

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0 1 (k1 1) 0 (k1) 1 0 1 1 (k1) 1 ( 1 ) 0 1 0 (k2 ) 1 1 2 0 x ( ) ( 1 ) k k p p 1 (kp ) 0 p p p 0 1 0 (1) p p 0 1 0 0 Ac0x0 Bc0u0 x y0 In x0 Cc0x0{Ac0, Bc0}必完全能控