【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分 专题一 第3讲 二

二次函数、指数函数、对数函数是中学数学的重要函数模 型，也是函数内容的主体部分，因此是高考重点考查的对象，

在每年的高考试题中都会涉及到对这几种函数模型的考查，既有可能在选择题、填空题中出现，也有可能在解答题中出现， 从难度上看，容易题、中档题、难题均有可能出现，以考查这 些函数的图象与性质为主，同时还经常将对这些内容的考查与 其他知识融合在一起，体现知识点的交汇.

1.(2010· 山东高考)函数f(x)=log2(3x+1)的值域为A.(0,+∞) C.(1,+∞) B.[0,+∞) D.[1,+∞)

(

)

解析：因为3x+1>1,所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0. 答案：A

4x+1 2.(2010· 重庆高考)函数f(x)= x 的图象 2 A.关于原点对称 C.关于x轴对称x

(

)

B.关于直线y=x对称 D .关于y轴对称

1 解析：因为f(x)=2 + x=2x+2-x, 2 f(-x)=2-x+2x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数，故函数f(x)的图象关于y轴对称.

答案：D

2 3 2 3 5 2 5 2 5 3.(2010· 安徽高考)设 a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则 a,b, 5 5 5

c 的大小关系是 A.a>c>b C.c>a>b B.a>b>c D.b>c>a

(

)

2x 解析：构造指数函数 y=( ) (x∈R),由该函数在定义域内 5 2x 3x 单调递减可得 b<c;又 y=( ) (x∈R)与 y=( ) (x∈R)之 5 5 2 2 3x 2x 3 5 2 5 间有如下结论：当 x>0 时，有( ) >( ) ,故( ) >( ) , 5 5 5 5 ∴a>c,故 a>c>b.

答案：A

4.(2010· 福建高考改编)函数f(x)= x2+2x-3,x≤0, -2+lnx,x>0

与x轴交点个数为 C.2

(

)

A.0

B.1

D.3

解析：法一：令 f(x)=0 得， x≤0 2 x +2x-3=0 x>0 或 lnx=2

,

∴x=-3 或 x=e2. 法二：画出函数 f(x)的图象可得其图象与 x 轴有两个交点.

答案：C

1.二次函数的图象与性质 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线 ①a定形状，b、c定位置，过定点(0,c); 2 b 4ac-b b (- , ) 2a 4a ②对称轴为x=- ,顶点坐标为 . 2a

b (-∞,- ] 2a 上单调递减， (2)当 a>0 时，图象开口向上，在 b [- ,+∞) 2a 在 上单调递增； b (-∞,- ] 2a 上单调递增， 当 a<0 时，图象开口向下，在 b [- ,+∞) 2a 上单调递减.

2.指数函数与对数函数的性质： 指数函数y=ax (a>0,且a≠1) (-∞,+∞) (0,+∞) 恒过定点 (0,1) 对数函数y=logax (a>0,且a≠1) (0,+∞) (-∞,+∞) 恒过定点 (1, 0)

定义域 值域 不变性

指数函数y=ax (a>0,且a≠1) 增减性 奇偶性

对数函数y=logax (a>0,且a≠1)

a>1时为 增函数 ，0<a<1时为 减函数 非奇非偶函数

a>1时为 增函数 ，0<a<1时为 减函数 非奇非偶函数 图象始终在y轴右侧

图象特征 图象始终在

x轴上方

1.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合， 特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴” 的问题，抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和 区间中点，一轴指的是对称轴.

2.注意三个“二次”的相互转化解题

3.二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式Δ 、对称轴位置、区间端点函数值正负.”

1 [例 1] 已知 ≤a≤1,若 f(x)=ax2-2x+1 在区间[1,3]上 3 的最大值为 M(a),最小值为 N(a).令 g(a)=M(a)-N(a). (1)求 g(a)的函数表达式； (2)判断函数 g(a)的单调性，并求出 g(a)的最小值.

[思路点拨] 首先对f(x)配方，确定对称轴，注意对a的取 值要分类讨论，求M(a),N(a),才能进一步求解.

12 1 [自主解答] (1)f(x)=ax -2x+1=a(x-a) +1-a.2

1 1 ∵ ≤a≤1,∴1≤a≤3, 3 1 1 当 1≤a≤2,即 ≤a≤1 时，M(a)=f(3)=9a-5, 2 1 1 N(a)=f(a)=1-a, 1 1 g(a)=9a-5-(1-a)=9a+a-6.

1 1 1 当 2≤a≤3,即 ≤a≤ 时， 3 2 1 1 M(a)=f(1)=a-1,N(a)=f( )=1- , a a 1 1 g(a)=(a-1)-(1-a)=a+a-2.

a+1-2,1≤a≤1, a 3 2 ∴g(a)= 9a+1-6,1≤a≤1. a 2