结构稳定 结构力学

2.简单结构稳定分析由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸 相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时 都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正 比，叠加原理适用。 在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时 叠加原理不再适用。

1) 稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类 稳定问题的特征，确定临界荷载的方法——静 力法。

2-1) 分支点稳定静力法

2-1-1) 分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性(可在两状态平 衡)建立特征方程，也称稳定方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。

2-1-2)例一 试用静力法分析图示结构，求临界 荷载。

B h sin 由 M A 0 得6 EI 6 EI FP 稳定方程 h sin 0 FP ah sin a 6 EI FPcr ah

小挠度 B h 由 M A 0 得

6 EI FP h 0 稳定方程 aFPcr 6 EI ah

非零解为

小

结

按静力法，线性与非线性理论所得分支点临 界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。 非线性理论结果表明，达临界荷载后，要使 角增大),必须施加更大的 AB杆继续偏转( 荷载( FP增加)。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随 遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚 假的现象。

例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临 界荷载FPcr。已知：k1=k, k2=3k。

设体系发生如下的变形

取B’C’为隔离体，由 MB’=0, 得或

FP ( y 2 y1 ) k1 y1 l 0 (k1 l FP ) y1 FP y 2 0 (1)(2k1 l FP ) y1 k 2 ly2 0 (2)

再由整体平衡 MA=0, 得

因为y1、y2不能全部为零，因此

k1 l FP FP 0 稳定方程 2k1 l FP k 2 l

(3)

将k1 、k2 代入(3)式，展开后得

F 5klFP 3(kl) 02 P 2

由上式可求得：

FP1 0.697kl FP 2 4.303kl 因此 FPcr 0.697kl

代回式(1)或(2) 的失稳形态为

2-1-3)材料力学中不同支承中心受压杆的 FPcr为

2 EIl2

2 EI4l 2

4 EI l22

FPcr

2 EIl2

求 解 的 例 子

2-1-4)简单结构中心受压杆FPcr的分析方 法FP FPcr

如何转换成弹 性支承中心受 根据形常数 = ? x 0 压柱？ y 0k ,1 y FP k1

3 EI k1 边界条件是什 x l y l 么？

EI,l

FPcr

如何转换成弹 性支承中心受 压柱？ k1=? 边界条件是什 么？EI,l

FPcr

EA=∞

如何转换成 弹性支承中 心受压柱？ k=? 边界条件是 什么？

EI,l

EI,l

FPcr EI,l

如何转换成弹性 支承中心受压柱？ k1=? k2=? 边界条件是什么？EI,l

可见简单结构中受压 杆件的稳定分析，主要 是要

将杆件简化为相应 的弹性支撑的单杆问题。 实际工程结构的稳定 性分析复杂得多，一般 进行计算机分析。

2-2) 分支点稳定能量法2-2-1) 刚性小 球的稳 定能量 准则

能量取 极小值

稳定平衡状态

能量取 驻值

能量取 极大值 不稳定平衡状态

随遇平衡状态

2-2-2) 弹性结构的稳定能量准则首先引入两个定义。 定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外 荷载所做的功，称为外力势能，记作VP。 定义：应变能Vε加外力(外荷载)势能VP为体 系的总势能，记作V。 与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支 点失稳问题中，临界状态的能量特征为： 体系总势能V 取驻值。 下面讨论由此特征确定临界荷载的方法—— 能量法。

2-2-3) 能量法分析步骤(1)设定一种满足位移约束条件的可能失 稳变形状态(也称失稳构(位)形);(2)计算体系的应变能Vε、外力势能VP, 从而获得总势能V= Vε+ VP; (3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析 的特征方程； (4)由特征方程解得临界荷载。