第七章 维纳过程与伊藤引理1-3,6-8节

第13章 维纳过程和伊藤引理

金融工程

教学目的与要求 掌握随机变量的概念，了解马尔科夫过程的特点，掌握维纳过程 的特点和性质，掌握一般维纳过程的特征以及其漂移率和方差率， 维纳过程的均值和标准差。掌握Ito过程的特征。

教学重点及难点 一、马尔科夫过程与效率市场的关系。 二、维纳过程、一般维纳过程与此同时Ito过程的特征，漂移率和 方差率，变量的均值与方差。以及这几种过程的内在联系和变化。 三、Ito定理及其运用。

期权的估值

欧式期权的到期收益

Max (ST-X, 0) ST不确定，所以期权到期的收益也不确定。 期权当期的价值=?期权当期的价值=未来收益折现后的期望值 c=E [Max (ST-X, 0)] ST的分布是怎样的？ 只有确定ST的分布才能确定c的价值4

风险中性估值

问题

13.1 弱式效率市场假说与马尔可夫过程

有效市场假说EMH

1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为： 投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息； 市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新 信息相应的价格变动是相互独立的。

有效市场分类：

一、弱式有效市场假说(Weak-Form Market Efficiency) 该假说认为在弱式有效的情况下，市场价格已充分反映出所有过去历史的 证券价格信息，包括股票的成交价、成交量，卖空金额、融资金额等； 推论一：如果弱式有效市场假说成立，则股票价格的技术分析失去作用， 基本分析还可能帮助投资者获得超额利润. 二、半强式有效市场假说(Semi-Strong-Form Market Efficiency) 该假说认为价格已充分反映出所有已公开的有关公司营运前景的信息。这 些信息有成交价、成交量、盈利资料、盈利预测值、公司管理状况及其它 公开披露的财务信息等。假如投资者能迅速获得这些信息，股价应迅速作 出反应。 推论二：如果半强式有效假说成立，则在市场中利用技术分析和基本分析 都失去作用，内幕消息可能获得超额利润。 6

三、强式有效市场假说(Strong-Form Market Efficiency) 强式有效市场假说认为价格已充分地反映了所有关于公司营运的信息， 这些信息包括已公开的或内部未公开的信息。 推论三：在强式有效市场中，没有任何方法能帮助投资者获得超额利 润，即使基金和有内幕消息者也一样。有效市场市场假说提出后，许多学者运用各种数据对此进行了实证分 析。结果发现，发达国家的证券市场

大体符合弱式效率市场假说。

Dr. Fan

13.1马尔科夫过程弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(Markov Stochastic Process)来 表述。 马尔科夫过程(Markov process)是一种特殊类型的随机过程。 未来的预测只与变量的当前值有关，与变量过去的历史和变量从过去 到现在的演变方式不相关。 股 价 的 马 尔 科 夫 性 质 与 弱 型 市 场 有 效 性 (the weak form of market efficiency)相一致： 一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。 如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师不可能通过分析股价的过去 历史数据图表获得高于平均收益率的收益的。 是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。 8

13.2.1

维纳过程( Wiener Process )

布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动 的描述，以发现这种现象的英国植物学家Robert Brown命名。 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的，因此布朗运 动又称维纳过程 股价行为模型通常用布朗运动来描述。 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式。

13.2.1 标准维纳过程( Wiener Process )

维纳过程(Wiener Process)

性质一：股票价格的变动是一个正态变量与时间的乘积。 (ε服从标准正态分布) ~ N (0,1) z t 性质二：任意两个不重叠时段的股票价格变动相互独立。Corr( z1 , z2 ) 0

从性质一，我们知道△z服从正态分布，性质2则隐含z遵循马尔科夫过 程。 维纳过程/标准布朗运动的特征： z ~ 0, t 股票价格在任意时段变动的均值都为0。 股票价格在某一时段变动的方差等于时间的长度。

13.2.2 广义维纳过程

漂移率(drift rate):变量在每单位时间内变化的期望值； 方差率(variance rate):变量在单位时间内变化的方差。 dx=adt+bdz adt说明变量x的单位时间漂移率为a,bdz可看作附加在变量x路 径上的噪音或扰动，dx单位时间方差率为b2。 x ~ a t ,b 2 t

11

Dr. Fan

13.2.3 伊藤过程 ito process:更广义的维纳过程

a,b都是变量x和时间t的函数： dx=a(x,t) dt+b a(x,t)dz

Dr. Fan

13.3描述股票价格的过程

假定股票价格服从广义维纳过程(几何布朗运动),即

dS=μSdt+σSdz,其中μ和σ均为常数， μ 为股票价格的收益率期望值，依赖于股票收益的风险； σ为股票价格的波动率。dz遵循标准布朗运 动。

当股票价格服从几何布朗运动时的走势图

13.3.1 离散时间模型

股票价格的变动 S S t S t S

S

= S t+ S t

股票价格有

随时间推移增长的稳定趋势； 股票“实际”价格变动为布朗运动；

S

S

~ t, 2 t

15

上证指数2500

2000

1500

1000

500

0 19901219 19920929 19940804 19960709 19980629 20000626 20020628

13.6 伊藤引理 Ito’s Lemma

衍生产品的价格是标的股票价格和时间的函数 Ito’s Lemma 假设x的值服从伊藤过程： dx a (x , t) dt b(x , t) dz

如果G是x和t的函数，即：G=G(x,t) 那么： G G 1 2GdG x

a

t

2 x 2

G b dt bdz x 2

期权及其他衍生证券的价格变动

dS Sdt Sdz 股票价格服从维纳过程： G 那么： G 1 2G G 2 2 dG S

S

t

2 S

2

S dt

S

Sdz

证明：如前述，假设标的资产价格变动过程服从： x a( x, t ) t b( x, t ) z其中

z t

利用泰勒展开，忽略高阶项，Δ G(x,t)可以展开为2 G G 1 2G 1 G 2 2 G ( x, t ) t x t x 2 2 t x 2 t 2 x 2 1 G x t o( x, t ) 2 x t18

保留1阶项，忽略1阶以上的高阶项

t 0

lim x t lim a t b t2 t 0

3 2

0

因此，上式可以改写为

f f 1 f 2 lim f t x x 2 t 0 t x 2 x2