2014数学高考综合能力题选讲10不等式的解法

2014数学高考综合能力题选讲10不等式的解法

题型预测

不等式具有联系广泛，应用广泛，变换灵活的特点．是中学数学的重点内容，也是学习高等数学的基础知识和重要工具，是高考的考察重点之一，在高考数学试题中占有相当大的比重．关于不等式的解法，应该在熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值的不等式、指数不等式和对数不等式等的解法的同时，注意对含参数的不等式须经讨论求解的问题．同时，还需注意不等式的工具作用，也即不等式与其它知识的综合问题．

范例选讲

例1 解关于x的不等式：log2 x 1 log4[a x 2 1]

a 0 ．

讲解：解不等式实质上就是等价变形，利用对数函数的单调性，我们不难得

x 1 0

到：原不等式等价于 a x 2 1 0 ①

2

x 1 a x 2 1

x 1 1

即 x 2 .

a

x a x 2 0由于a 1，所以1 2

1

，所以，上述不等式等价于 a

1

x 2

② a

x a x 2 0

解答这个含参数的不等式组，必然需要分类讨论，此时，分类的标准的确定

就成了解答的关键．如何确定这一标准？

首先，我们可以从解不等式 x a x 2 0入手，不难看到a 2是一个分界点，这可以看作是本题分类讨论的第一层次；其次，要解上述不等式组，从两个

1

不等式取交集的角度，必然需要考虑到2 ，a，2这三个数之间的大小关系，

a

这应该是本题分类讨论的第二层次．但是，在本题的条件及第一分类标准之下，这三个数的大小关系已经确定，所以，我们只需考虑以a 2为分界点．

1

x 2

（1）当1 a 2时，不等式组②等价于 a

x 2或x a

2

11 a 1

此时，由于 2 a 0，所以 2 a．

aa a

从而 2

1

x a或x 2． a

3 x

（2）当a 2时，不等式组②等价于 2

x 23

所以 x ，且x 2．

2

1

x 2

（3）当a 2时，不等式组②等价于 a

x 2或x a

此时，由于2

11

2，所以，2 x 2或x a．

aa

1

综上可知：当1 a 2时，原不等式的解集为 x2 x a或x 2 ；当

a 3

a 2时，原不等式的解集为 xx ，且x 2 ；当a 2时，原不等式的解集为

2 1

x2 x 2或x a ．

a

如果将本题中的条件a 1去掉，则在将原不等式等价转化为不等式组①后，就应该开始确定分类标准．从解不等式a x 2 1 0和 x a x 2 0入手，可知a 0，a 2是两个分界点，另外，从解不等式组的角度，即不等式取交集的

1

角度，可以看出需要比较2 ，a，1，2这四个数的大小关系，为了找到分界

a

1

点，可以令2 ＝a，解得：a 1，于是，我们得到了此题分类讨论的3个界

a

点：0，1，2．从不重不漏的原则出发，我们可以画出如下数轴，并标出0，1，2三个点，以此把数轴分成 ,0 ， 0,1 ， 1,2 ， 2, 四个区间及a 0,1,2三个点．

下面只需在各区间及各界点展开讨论即可．结论如下：

1

当a 0时，原不等式的解集为 x2 x 2 ；

a 当0 a 1时，原不等式的解集为 xx 2 ；

1

当1 a 2时，原不等式的解集为 x2 x a或x 2 ；

a 3

当a 2时，原不等式的解集为 xx ，且x 2 ；

2 1

当a 2时，原不等式的解集为 x2 x 2或x a ．

a

点评：解含参数的不等式时，关键在于分类标准的确定．函数单调性的变化常常作为确定分类标准的依据．分类需要不重不漏，尤其注意不要忽略参数a在分界点的取值．

例2 设函数f x ax x2 1， （1）当a 2时，解不等式f(x) f 1 ；

（2）求a的取值范围，使得函数f x 在 1, 上为单调函数． 讲解：（1）a 2时，f(x) f 1 可化为：2 x 1 x2 1，等价于：

x 1 0 x 1 0

① 或 2 ② 22

x 1 0 4 x 1 x 1

5

解①得 1 x ，解②得 x 1．

3

5

所以，原不等式的解集为 x x 或x 1 ．

3 （2）任取x1,x2 1, ，且x1 x2，则

22

f x1 f x2 ax1 x1 1 ax2 x2 1

22 a x1 x2 x1 1 x2 1

a x1 x2

x1 x2 a

x1 x2

2

222

1

x1 1 x2 1

x1 x2x1 1 x2

2

2

要使函数f x 在 1, 上为单调函数，需且只需：

a

x1 x2

x1 1 x2 1

2

2

恒成立，（或a

x1 x2

x1 x2

x1 1 x2 1

2

2

恒成立）．

因此，只要求出

x1 1 x2 1

22

在条件“x1,x2 1, ，且x1 x2”之下

的最大、最小值即可．为了探求这个代数式的最值，我们可以考虑极端情况，如：

x1 1,x2 1，容易知道，此时

x1 x2

x1 x2

x1 1 x2 1

2

2

；若考虑x1 x2 ，

则不难看出，此时

x1 1 x2 1

22

1，至此我们可以看出：要使得函数f x

为单调函数，只需a 1．

事实上，当a 1时，由于x1 x2 x1 1 x2 1 0恒成立，所以，

x1 x2

x1 1 x2 1

2

2

22

1．所以，在条件“x1,x2 1, ，且x1 x2”之下，必有：

f x1 f x2 0．

所以，f x 在区间 1, 上单调递减．

5

当a 1时，由（1）可以看出：特例a 2的情况下，存在f 1 f ．由

3

此可以猜想：函数f x 在区间 1, 上不是单调函数．为了说明这一点，只需找到x1,x2 1, ，使得f x1 f x2 即可．简便起见，不妨取x1 1，此时，可

a2 1

1，也即：f 1 求得x2 2

a 1

a2 1 f a2 1 a，所以，f x 在区间 1, 上不

是单调函数．

点评：本题是函数、不等式型综合问题，注意：不等式解区间的端点往往与

5

方程的解相关（如（1）中f 1 f .

3

高考真题

1. 已知n为自然数，实数a 1，解关于x的不等式：

logax 4loga2x 12loga3x n 2

n 1

1 2 loganx logax2 a.

3

n

2. 设函数

（I）解不等式f(x)≤1；

，其中a>0．

（II）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，＋∞]上是单调函数．

1 4a

[答案与提示：1．当n为奇数时，不等式的解集为 xa x ；当n

2 1 4a

为偶数时，解集为 xx ． 2．（I）0<a<1时，所给不等式的解

2

2a

集为 x0 x ，当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}；（II）当且2 1 a 仅当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞]上是单调函数．]