5.4平行线的性质定理和判定定理李云峰

学习目标 1、会区分并证明平行线的性质和判定 定理。 2、了解互逆命题、互逆定理的概念。

基本事实

两条直线被第三条直线所截，如果两直线 平行，那么同位角相等。平行线的性质定理1: 两条平行线被第三条直线所截，同位角 相等。 注：性质定理1,现阶段不用证明，直接作 为结论应用于各种证明问题中。

平行线的性质定理2: 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

1.指出定理的条件和结论，并画出图形， 结合图形写出已知、求证. 2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.

已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线 E EF所截,∠1和∠2是内错角. 3 A 求证: ∠1 =∠2.2

B D

分析

C

1

F 证明:∵AB∥CD(已知), ∴∠1 =∠3 (两直线平行, 同位角相等). ∵ ∠2 =∠3(对顶角相等), ∴ ∠1 =∠2(等量代换).

已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线 EF所截,∠1和∠2是同旁内角. E 3 求证: ∠1 +∠2 =180°. A2

B

C

1

D

平行线的性质定理3:

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

c

d a

已知：如图，a∥b,c∥d, ∠1=73°. 求∠2和∠3的度数.

2

3

1 解：∵a ∥b(已知) ∴∠2=∠1(两直线平行， 内错角相等) ∵∠1=73° (已知) ∴∠2=73°(等量代换) ∵a ∥b (已知) ∴∠2+∠3=180°(两直线平行，同旁内 角互补) ∴∠3=180°-∠ 2 (等式的性质) ∴∠3=180°-73 °=107 °(等量代换)

b

平行线判定定理1: 两条直线被第三条直

线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.(简记为:内错角相等,两直线平行)请说出这个定理的条件和结论

尝试画出图形,写出已知与求证.

已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被 a 直线c截出的内错角,且∠1=∠2. b 求证:a∥b.

c3 1 2

把你所悟到的 证明:∵ ∠1=∠2 (已知), 证明一个真命题 ∠1=∠3 (对顶角相等). 的方法,步骤,书 ∴∠2=∠3 (等量代换). 写格式以及注意 事项内化为一种 ∴ a∥b(同位角相等,两直线平 方法. 行). 借助“同位角相等,两直线平行”这一公理, 你还能证明哪些熟悉的结论?

几何语言

平行线的判定?ca b a b2 1

基本事实: 同位角相等,两直线平行 . ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.

c1 2

判定定理2: a 同旁内角互补,两直线平行. b ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.

c1 2

这里的结论,以后可以直接运用.

条件平行 判定 公理 定理 基本事实 同位角相等 定理一 内错角相等

结论两直线平行 两直线平行

定理二平行 性质 公理 定理 定理一 定理二 定理三

同旁内角互补 两直线平行两直线平行 两直线平行 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补

如果两个角是直角, 那么这两个角相

等. 如果两个角相等, 那么这两个角是直角. 如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等. 如果两个三角形对应边相等,那么这两个三角形全等. 如果a,b互为相反数，那么a+b=0. 如果a+b=0,那么a,b互为相反数.

条件

结论

把一个命题的条件和结论交换后,就构成 了一个新的命题.如果把原来的命题叫做原命 题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题.一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题

互逆定理内错角相等,两直线平行.

两直线平行,内错角相等.

你能说出下列命题的逆命题吗？它 们的逆命题是真命题还是假命题？ (1) 两条平行线被第三条直线所截，同旁 内角互补。 (2)对顶角相等。 (3)两条平行线被第三条直线所截，内错 角相等。注：先确定命题的条件和结论，然后再确 定逆命题。

A 已知：如图，DE ∥BC, ∠ADE=55 °, ∠C=54 °,求∠B和∠DEC的度数 B D E C

注： 在以后的证明问题中，括号及括号里的依据 可以不写。