线性代数及其在经济领域中的应用与作用

线性代数的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;通过解析几何,线性代数得以被具体表示。它起源于十七世纪,主要理论成熟与十九世纪。在线性代数等数学理论与方法的帮助下经济理论的研究工作取得了很大的进展,是人们对经济规律认识的精确性有了明显提高。特别是近二十年来,许多经济学家都

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线性代数及其在经济领域中的应用与作用张莹华

(江苏省徐州医药高等职业学校，江苏徐州 2 00 1 10 ) 2

摘要：线性代数的研究对象是向量，向量空间(或称线性空间)线性变换和有限维的线性方程组。线性代数被广泛地应用于抽象代，数和泛函分析中；通过解析几何，}代数得以被具体表示。它起源于十七世纪，线.生主要理论成熟与十九世纪。在线性代数等数学理论与方法的帮助下经济理论的研究工作取得了大的进展，很是人们对经济规律认识的精确性有了明显提高。特别是近二十年来，多经济学家许 都把数学和经济学结舍得十分紧密。利用数学工具作为辅助手段，使经济科学、管理科学的研究做到了简洁、清晰和精确。 关键词：线性代数；经济；经济数学；应用1线性代数的发展及其在数学中的地位要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下线性代数( ierAgba是数学的一个分支， Ln a l r) e线性代数包括：可以线性化，由于计算机的发展， 而线性化了的问题又可以计算出线性代数正是解决这些问题的有力工具。 行列式、矩阵、线性方程组等基础知识。它的研究对象是向量，向量来，空间(或称线性空间 )线性变换和有限维的线性方程组。线性代数， 2线性代数在经济领域中的应用

被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数

行列式是线性代数的重要组成部分，它是解线性方程组的常』 _} J得以被具体表示。 工具，而线性方程组在经济领域的应用比较广泛。 由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使 21 .成本问题。 得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。 某些产品在生产过程中能获得另外几种产品或副产品，但是对线性代数出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域每种产品的单位成本难以确定，这类问题可以通过几次测试，出列还只限于平面与空间。 方程组求解。例如： 十九世纪上半叶才完成了到 n维向量空间的过渡矩阵论始于在一次投料生产中能获得四种产品，每次测试的总成本如表 1 凯莱，8 8年，亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空所示， 18皮试求每种产品的单位成本。 间。托普利茨将

线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向解： A… D四种产品的单位成本分别为 X、:X、可列设 B C、 X、,, x量空间中。 出方程组“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传人中国，当时 r2 0 l O x 0 x+l O 2+l O 3十5 x Ox 0 4= 2 0 90被人们译成“阿尔热巴拉”直到 15, 8 9年，清代著名的数学家、翻译

家李善兰才将它翻译成为“代数学”之后一直沿用。现代线性代数，已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n的向量空间Ⅱ做 q

n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些 40 1 8x 0 x+1 0 2+1 0 3+6 x 6x 0 4= 5 0 50高维空间。尽管许多人不容易想象 n维空间中的向量，这样的向量 ( n元组 )即用来表示数据非常有效。由于作为 n元组，向量是 n个将方程组化简如下元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵厂 4 l+2 2+2 3+ 4= 5 8数据。 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其 j 0l 52 43 24 11 x十 x+ x+ x= 4 1线性变换理论的一门学科。 l 5l 22 23 = 8 x+ x+ x+ 4 6 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石(、二三元线性方程组 2 1+9 0x x2+8 3+3 x x4= 2 75的解法 )则早在两千年前出现 (于我国古代数学名著《见九章算术》。 ) 运用行列式解得：=0x 5x 3x 2所以 A B C D四种产 x 1,=,=,= l: 3 4、、、①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应品的单位成本分别为 1元/ O公斤，元/ 5公斤，元/ 3公斤，元/ 2公用，因而它在各种代数分支中占居首要地位； 斤②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、 2 . 2利润问题。 密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一企业经营几类商品，由于有些费用难以划分，因此不能确定每部分； 种商品的利润率，这种情况可以通过不同时期(或不同门市部 j的总③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概利润，出方程组求解。列

j0x+ 5x+ 0x+ 0x= 00 0l

202 203 104 75 5 I 10 1 4x+ 0 3 2x= 30 0x+ 0 2 4 x+ 0 4 16

念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；表 1

例如：某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表 2 所示，试求每类商品的利润率。表 2

2 50 2 00

2O 0 1 O0 3 0O 25 0

3 0 0

6 0O80 0 75 O 5 0 0

8O

5 00 4 005 0 0

85 909 5

10 63 00

④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还

解设 A, c、 B、 D四类商品的利润率分别为 Xx下转 1 5页 ) l、 ( x 2