第三章 数字信号处理课后答案刘顺兰版

第三章 部分习题解答

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3.1如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100μs，每次复加需20μs，今用来计算N=1024点的DFT[x(n)]，问用直接运算需要多少时间，用FFT运算需要多少时间？ 解： X(k)=∑x(n)W

n=0N 1nkN,N=1024=210,M=10

直接运算所需的总时间为

Td=N2×100μs+N(N 1)×20μs

=1024×100μs+1024×1023×20μs≈126s=2分6秒

FFT运算所需总时间为 2

NM×100μs+NM×20μs 2

1 =×1024×10×100μs+1024×10×20μs=0.717s 2TF=

3.2在基-2FFT算法中，最后一级或开始一级运算的系数WN=WN=1，即可以不做乘法运算。问（1）乘法可节省多少次，所占百分比为多少？ p0

N次，所占百分比为 2

N12×100%=×100% Nlog2Nlog2N2

1如 N=8则为×100%≈33.3% 3解： 可节省

3.11以20kHz的采样率对最高频率10kHz的带限信号xa(t)采样，然后计算x(n)的

N=1000个采样点的DFT，即X(k)=∑x(n)e

n=0N 1 j2πnkN，N=1000.

（1）试求频谱采样点之间的频率间隔是多少?

（2）在X(k)中，k=200对应的模拟频率是多少?

（3）在X(k)中，k=700对应的模拟频率是多少?

解:（1）频谱采样点之间的频率间隔为:

1

Δf=fs20000==20Hz N1000

（2）k=200对应的模拟频率为 fk=fs20000k=×200=4000Hz=4kHz N1000

（3）因k=700大于N/2,故其对应的模拟频率为 fk=fs20000×300=6000Hz=6kHz (N k)=N1000

3.12 对一个连续时间信号xα(t)采样1s得到一个4096个采样点的序列：

(1) 若采样后没有发生频谱混叠，xα(t)的最高频率是多少？

(2) 若计算采样信号的4096点DFT，DFT系数之间的频率间隔是多少Hz?

(3) 假定我们仅仅对200Hz≤f≤300Hz频率范围所对应的DFT采样点感兴趣，若直

接用DFT，要计算这些值需要多少次复乘？若用按时间抽取FFT则需要多少次？ 解：（1）由题意可知：fs=4096Hz，故xα(t)的最高频率fh=fs/2=2048Hz （2）Δf=fs4096==1Hz N4096

（3）直接用DFT计算，所需要的复乘次数为

Md=(300 200+1)N=101×4096=413696

若用按时间抽取FFT则需要的复乘次数为

MF=Nlog10N=2048×12=24576 2

3.17若给定两个实序列x1(n)、x2(n)，令：g(n)=x1(n)+jx2(n)，G(k)为其傅里叶变换，可以利用快速傅里叶变换来实现快速运算，试利用傅里叶变换的性质求出用G(k)表示的x1(n)、x2(n)的离散傅里叶变换X1(k)、X2(k)。

解： g(n)=x1(n)+jx2(n)

1x1(n)=[g(n)+g*(n)],2

x2(n)=1[g(n) g*(n)] 2j2

DFT[g(n)]=G(k)，利用离散傅里叶变换的性质：

DFT[g*(n)]=G*(N k)（此处暗含G(0)=G(N)）

1∴X1(k)=[G(k)+G*(N k)] 2

X2(k)=1[G(k) G*(N k)],0≤k≤N 1 2j

3.18 已知X(k),Y(k)是两个N点实序列x(n)、y(n)的DFT值，今需要从X(k)、Y(k)求

x(n)、y(n)值，为了提高运算效率，试设计用一个N点IFFT运算一次完成之。 解：令 Z(k)=X(k)+jY(k)

则 z(n)=IFFT[Z(k)]=x(n)+jy(n)

1x(n)=Re[z(n)]=[z(n)+z*(n)] 2

y(n)=Im[z(n)]=1[z(n) z*(n)] 2j

即仅需由 Z(k)进行一次N点IFFT，即可得x(n)，y(n)。

3.19 已知X(k),k=0,1,...,2N 1,是2N点实序列x(n)的DFT值，今需要由X(k)求

x(n)值，为提高运算效率，试设计用一个N点IFFT运算一次完成。

2N 1

解；X(k)=∑x(n)W

n=0

N 1

n=0nk2N,0≤k≤2N 1 由时间抽取的FFT可得： X(k)=∑x(2n)WnkN+Wk2Nnkx(2n+1)W∑N n=0N 1

=X1(k)+W2NX2(k),k0≤k≤N 1

0≤k≤N 1

N 1

n=0X(k+N)=X1(k) W2kNX2(k),2其中X1(k)=∑x(2n)Wn=0N 1nkN,nkX2(k)=∑x(2n+1)WN

3

1N =++X(k)[X(k)X(k)]1 22则

X(k)=1[X(k) X(k+NW k

22N 22

令Y(k)=X1(k)+jX2(k),0≤k≤N 1

y(n)=IFFT[Y(k)]=x1(n)+jx2(n)=x(2n)+jx(2n+1)

x(2n)=Re[y(n)],x(2n+1)=Im[y(n)]

即仅用一次IFFT[Y(k)]，就可求得x(2n)，x(2n+1)。

3.24设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数

据处理措施，要求频率分辨率≤10Hz。如果采用的采样时间间隔为0.1ms。试确定

（1）最小记录长度；

（2）所允许处理的信号的最高频率；

（3）在一个记录中的最少点数。

解： T=0.1ms， f≤10HZ 则fs=

(1) 频率分辨率f=1=10KHZ Tfsfs≤10HZ，则N≥=1000 N10HZ

故取N=1024

最小记录长度 τ=NT=1024×0.1ms=0.1024s=102.4ms

(2) 所允许处理的信号最高频率为 fh=

(3)在一个记录中的最少点数 N=1024

fs=5KHZ 2

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