2012-2013学年第1学期大气科学专业流体力学第4章(流体涡旋动力学

2012~2013学年第1学期课程

流体力学李忠贤E-mail:lizhongxian@

南京信息工程大学大气科学学院

第四章 流体涡旋动力学基础流体的涡旋运动大量存在 于自然界中，如大气中的 气旋、反气旋、龙卷、台 风等，大气中的涡旋运动 对天气系统的形成和发展 有密切的关系。 因此，针对流体的涡旋运动 进行分析，介绍涡旋运动的 描述方法、认识涡旋运动的 变化规律及其物理原因是 十分必要的。

台风

龙卷2

大尺度海洋环流3

本章主要内容

第一节 第二节 第三节 第四节

流体有旋、无旋运动 速度势函数和流函数 环流定理 涡度方程

第一节 流体有旋、无旋运动 流体涡度( V )是反映流体旋转特征或者旋转 强度的一个重要物理量。整个流体区域内涡度都为零时，运动为无旋； 流体区域内有一点涡度不等于零时，运动为有旋。 本章将重点讨论涡旋(有旋)的变化特征 及其产生的原因。

速度环流与涡度的关系

在流体中取任一闭合有向曲线 l合曲线上的流速分量求和：

,沿闭合曲线 l 对该闭

V dl

l V

称为速度环流，记作

( V ) n lim / 0

。

流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于单位面积速度环流的极限值。

第二节 速度势函数和流函数速度势函数(Velocity Potential Function) 流函数(Stream Function)

一、速度势函数① 定义(速度势函数的引入)

如果在流体域内涡度为零，即: V 0无旋流动；

否则，则称之为涡旋流动： V 0无旋流动 流体运动

有旋流动8

②用势函数来描述流体运动据矢量分析知识，任意一函数的梯度，再取旋度恒等于零：

0所以，对于无旋流动，必定存在一个函数 x, y, z, t 满足如：

V

函数 x, y, z, t 称为速度的(位)势函数，可以用这个函数来 表示无旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。

对于某一固定时刻 x, y, z, t0 C 为一空间曲面，称为等势函数面。

由无旋运动的流速场与势函数的关系可知： V 对于无旋运动，其流速矢量与等势函数面相垂直，由速度 势函数的高位势流向低位势，等势函数面紧密处，相应的

流速大；等势函数面稀疏处，相应的流速小。

例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如 图所示(其中， 0 < 1< 2 )的，请判断并在图 中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。

速度势函数与对应的无旋风场(图中势函数乘于负号)

辐合 H

L 辐散

注：实际计算中势函数与无旋运动的关系式常采用下式

V

势函数的求解流体的散度为：

D V

V

根据势函数的定义有： 2 D 2 2 2 其中， 2 2 2 2 为三维拉普拉斯算子。 x y z

可以看出，如果确定D,通过求解泊松(Poisson)方程，即 可求得势函数。

二、速度流函数①定义

引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：流体运动 无辐散流 辐散流 0 V

0 V

对于二维运动， 其流线方程为：

dx dy vdx udy 0 u v

考虑二维无辐散流动，即满足：

w 0 u u x, y, t , v v x, y, t u / x v / y 0 根据格林积分公式，可以引入一个函数 x, y, t ,满足表达式：

d vdx udy 0

u ,v y x可见，等流函数线是一种特殊的流线！16

流速与该函数满足：

u ,v y x

矢量形式：

V k

该函数称为速度流函数。

等流函数线与对应的无辐散风场(旋转风场) V k 18

对于某固定时刻，等流函数线是一种特殊的流线！ 但不是所有的流线都是等流函数线！19