必修二4.3.1空间直角坐标系

人生有限，潜力无穷。

数轴上的点B-2 -1 A

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

平面坐标系中的点y

y

P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示

O

x

x

在教室里同学们的位置如何确 定呢？z

y O

x

一、空间直角坐标系：

z'

以单位正方体 OABC D A B C 的 D ' A 顶点O为原点,分别以射线OA, OC, OD 的方向为正方向,以线段OA,OC, OD 的长为单位 x 长度,建立三条数轴:x轴,y轴,A

C'

B'

OB

C

y

z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系 O xyz 。

点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别 称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面.

在空间直角坐标系中 ， 让右手拇指

指向 x 轴的正方向 ， 食指指向y 轴

的正方向 ， 如果中指能指向 z 轴的 正方向 ， 则称这个坐标系为

右手直角坐标系

z

z

O

y y

x

x

空间直角坐标系的画法：1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, z

而z轴垂直于y轴.0 135 2.y轴和z轴的单位长度相同， o

x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半. x

1350

y

二、空间直角坐标系的划分：Ⅲ

z

yz 面Ⅳ

zx 面Ⅱ Ⅰ

xy 面Ⅶ Ⅷ

O

yⅥ

xⅤ

空间直角坐标系共有八个卦限

三、空间点的坐标：设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别 是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实 数组(x,y,z)来表示, (x,y,z)叫做点M 在此 空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z).zRM

其中x叫做点M的横坐标，

y叫做点M的纵坐标，Q

P

OM’

y z叫做点M的竖坐标.

x

四、特殊位置的点的坐标：z

F

C

小提示：坐标轴

x

1O

1

E

D

B y

上的点至少有两个 坐标等于0;坐标面 上的点至少有一个 坐标等于0。

A1

点P的位置 坐标形式

原点

O D

X轴上

A E

Y轴上

B F

Z轴上

C

(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)X Y面内 Y Z面内 Z X面内

点P的位置坐标形式

(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)

z

(1)坐标平面内的点: 1 E

F

C

x

1O

D

B y

xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0

A1

(2)坐标轴上的点:x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0

z轴上的点横坐标和纵坐标都为0

例1 : 在长方体OABC D A B C 中， OA 3, OC 4, OD 2, 写出所有点的坐标 .z2 D ' (0,0, 2)

C ' 0,4,2 B '(3, 4, 2)4

3,0,2 A 'O 0,0,0 3

y

C (0, 4,0)B (3, 4,0)

x A (3, 0, 0)

z P ( 1, 1,1) 3P(1,1,1)oyx

P2 ( 1,1, 1)P 1 (1, 1, 1)

练习1、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中， |OA|=3,|OC|=4,|OD`|=3,A`C`于B`D`相交于 点P.分别写出点C,B`

,P的坐标.z D` 3 A`

P

C` B`

A

3

O

P`B

C

4y

x

练习2、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对 角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA, OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.zD` A` B` C`

QOA x

Q`B

C

y

想一想：在空间直角坐标下，如何找 到D(1,3,4)的空间位置？z D 4

1

OD`

3

y

x

五、空间点的对称问题：点M(x, y, z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点

(1)与点M关于x轴对称的点: (x, -y, -z)(2)与点M关于y轴对称的点: (-x, y, -z) (3)与点M关于z轴对称的点: (-x, -y, z) (4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)

规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。

六、空间点的对称问题：点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (5)与点M关于平面xOy的对称点: (x,y,-z) (6)与点M关于平面yOz的对称点: (-x,y,z) (7)与点M关于平面zOx的对称点: (x,-y,z)

规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。

七、空间两点间的距离公式：若点P(x1,y1,z1)、点Q(x2, y2,z2),则PQ ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )2 2 2

公式的记忆方法：同名坐标差的平方和的算术根