Ch09：数值计算方法之最小二乘法与曲线拟合(2)

数值计算方法课件

9.3 多项式拟合问题

我们在第一节中已经给出了一个系统的方法进行试验数据处理， 验数据处理 ， 在那里我们只是简单地把实验数据设 想为满足一个线性关系。 想为满足一个线性关系。

如果我们更一般地把实验数据设想为满足一个多项式函数关系，那么相应的问题, 式函数关系，那么相应的问题,也就是求多项式的系 就是多项式拟合。 数，就是多项式拟合。

类似地 ，我们也可以利用最小二乘法来求解多项式 类似地，拟合问题。 拟合问题。

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1.问题的提法 1.问题的提法

假如我们得到了某个未知函数Y=f(x)的n+1对观测值 假如我们得到了某个未知函数Y=f(x) n+1 Y=f(x)的X Y X0 y0 X1 y1 … … Xn Yn

现在要找一个m 现在要找一个m次多项式 Y=a0+a1x+…+amxm x+… ( 1) 来近似地表示这个未知函数。 来近似地表示这个未知函数。

多项式拟合问题的核心就是如何今可能准确地确定出这个多项式的系数a 出这个多项式的系数 a0,,a1,…,am,, 对此 ， 我们可用 对此， 前面学过的最小二乘

法来求解。 前面学过的最小二乘法来求解。

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2.写出矛盾方程 2.写出矛盾方程

把n+1对观测值{(xk,yk)|k=0,1,…,n}分别代入到(1)中， n+1对观测值{( {(x )|k=0 ,n}分别代入到 分别代入到(我们可以得到下面的线性方程组

a0 + x0a1 +L+ (x0 ) am = y0 m a0 + x1a1 +L+ (x1 ) am = y1 L L L L L L a + x a +L+ (x )m a = y 0 n 1 n m nm

( 2)

一般说来，当n>m时，这个线性方程组误解，所以我们也把 一般说来， n>m时 这个线性方程组误解，它称为矛盾方程

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3.矛盾方程的矩阵形式 3.矛盾方程的矩阵形式

记

1 1 X = M 1

x0 x1 M xn

L (x0 ) a0 y0 m L (x1) a1 y1 , a = , y = M M M M m a y L (xn ) m n m

则(2)可简写为 Xa=Y

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4.正规方程的矩阵形式 4.正规方程的矩阵形式

现在我们可以绕过利用二次函数求极值来推导正规方程， 方程 ， 而是利用最小二乘法的结果直接写出正规方 程，它的矩阵形式是 XTXa=XTy

记

Q=XTX,P=Xty

则正规方程可表为 Qa=P