3.2.1立体几何中的向量方法：平行和垂直(上课用)

3.2.1立体几何中的向量方法 ——平行和垂直

复习1、方向向量与法向量 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

1.直线的方向向量

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面

的法向量

l

a

AP

⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )

求平面的法向量的步骤：

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 n b 0

⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ; 线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ; 面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 . 设直线l的方向向量为e (a1 , b1 , c1 ), 平面 的 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为n (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内，面面平行包括面面重合. l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;

设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则

1、平行关系：

设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 2 ,则 , n 线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ; 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ;

2、垂直关系：

面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0. 若e (a1, b1, c1 ), n (a2 , b2 , c2 ),则 l e // n e n a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 . a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 0时,e // n a2 b2 c2

巩固性训练11.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下平行或重合 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a (2, 1, 2), b (6, 3, 6) (2)a (1,2, 2), b ( 2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0, 3)

平行或重合

巩固性训练2 1.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ( 2,2,5), v (6, 4,4) (2)u (1,2, 2), v ( 2, 4,4) (3)u (2, 3,5), v ( 3,1, 4)

垂直 平行或重合

相交

巩固性训练31、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 // ,则k= 4 ;若 则 k= 。 -5 2、已知

l // ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 -8 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ,则m= 4 .

练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1 ,E是PC的中点， Z 求平面EDB的一个法向量.

P

ED A

C B

Y

X

二、 立体几何中的向量方法——证明平行与垂直

例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD,PD=DC=6, E是PB的中点， DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG. 证 ：如图所示, 建立空间直 Z 角坐标系. P A(6,0,0), E(3,3,3),

F(2,2,0), G(0,4,2), AE =(-3, 3), =(-2, 2) 3, FG 2, 3 AE = FG AE // FG 2 AE与FG不共线AE//FGA X

几何法呢？

ED

GC Y

F

B

例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB. P 解1 立体几何法 EZ

D A XG

C B

Y

解法2 如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), Z 1 1 1 1 G( , ,0) E (0, , ) 2 2 2 2 P 1 1 PA (1, 0, 1), EG ( , 0, ) 2 2

所以PA 2EG ,即PA// EG

E

而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB所以，PA // 平面EDBA X DG

C B

Y

解3:如图所示建立空间直角坐标系，

点D为坐标原点，设DC=1 1 1 1,0) (1)证明： 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, 2 2 1 1 Z PA (1,0, 1), DE (0, , ) DB =(1, 1,0) 2 2 设平面EDB的法向量为 n ( x, y,1) P 则n DE, n DB1 1 y 0 于是 2 n 1, 1, 1 2 x y 0

E

PA 0 PA n n

而PA 平面EDB所以，PA // 平面EDB

D A X B

C

Y

解4:如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1

1 1 1,0) 依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), E (0, , ), B(1, (1)证明： 2 2 1 1 PA (1,0, 1), DE (0, , ) Z DB =(1, 1,0) 2 2

设PA xDE yDB

P E

解得 x=-2,y=1 即PA 2DE DB 于是PA DE、 DB共面 、而PA 平面EDB所以，PA // 平面EDBA X D

C B

Y

例4

正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别

是BB1,,CD中点，求证：D1F 平面ADE. 正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz, 1 DA (1, 0, 0), (1,1, , ) DE 2 1 D1 F (0, , 1) 2zD1

以 DC 证明：设正方体棱长为1, DA , , DD1 为单位

C1 B1 E

则 1 DA 0 , 1 DE 0 DF DF 则 1 DA , 1 DE. DF DF所以D1F 平面ADE

A1

D Ax

F B

C y

例5 正方体 ABCD A1 B1C1 D1 求证：平面EBD 平面C1BD. E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)

,E是AA1中点，

证明： 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系

EB (2,0, 1) ED (0,2, 1)

E

设平面EBD的一个法向量是

由u EB u ED 0 1 1 得u ( , ,1) 平面C1BD的一个法向量是 v CA ( 1, 1,1) 1 2 2

u ( x, y,1)

u v 0,

平面EBD 平面C1BD.

练习.在正方体ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别是BB1,, CD中点，求证：D1F 平面ADE 1 DA (1, 0, 0), (1,1, , ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 为n=(x,y,z)D1

z

C1 B1 E

A1 D Ax

则由n DA 0 , DE 0得 n

F B

C y

1 又因为D1 F (0, , 1) 2 所以 D1F 平面ADE

x 0 0 0 则x=0,不妨取y 1,得z 2 1 1, x y 2 z 0 所以n=(0, - 2)

所以D1 F //n