概率论与数理统计-章节习题加总结-华南理工大学 (3)(3)

22

F( , ) A(B )(C ) 0， 22

y

F( ,y) A(B )(C arctan) 0，

23

x

F(x, ) A(B arctan)(C ) 0，

22A

1

故

2

，B

2

，

C

2

.

（2）F(x,y)

1 x y

arctan arctan ， 2 22 23

2F(x,y)6

f(x,y) . 2

22

x y (4 x)(9 y)

（3）

fX(x) fY(y)

62

， dy 2 2(4 x2)(9 y2) (4 x)

63

dx 2 2(4 x2)(9 y2) (9 y)

4-15 （1）由于

f(x,y)dxdy

1

00

2

(x2 Cxy)dxdy

2

C 1， 3

故C

1 . 3

（2）当x 0或y 0时，F(x,y) 0； 当x 1,y 当0

2时，F(x,y) 1；

x 1,0 y 2时，

111

F(x,y) du (u2 uv)dv x3y x2y2；

003312

x

y

当0 x 1,y 2时，

121F(x,y) du (u2 uv)dv x3 x2

00333

x

2

当x 1,0 y 2时，

111

F(x,y) du (u2 uv)dv y y2.

003312

1

y

0 1

x3y 1x2y2

12 3

21

故 F(x,y) x3 x2

3 3

112

y y 312 1

（3）由于

当x 0或y 0当0 x 1,0 y 2当0 x 1,y 2当x 1,0 y 2当x 1,y 2

fX(x)

f(x,v)dv， fY(y)

f(u,y)du，

当x [0,1]时， 当x [0,1]时，

2 1 2fX(x) x2 xy dy 2x2 x；

03 3

fX(x) 0.

22

2x x当0 x 1

故 fX(x) 3

其他 0

当y [0,2]时， 当y [0,2]时，

1 11

fY(y) x2 xy dx y；

03 36

1

fY(y) 0.

11

y当0 y 2

故 fY(y) 36

其他 0

（4）由于

fX|Y(x|y)

f(x,y)f(x,y)， fY|X(y|x) ，

fY(y)fX(x)

6x2 2xy

当0 x 1,0 y 2

故 f(x|y) 2 y

0其他

3x y

当0 x 1,0 y 2

故 f(y|x) 6x 2

其他 0

4-16 由于

fX|Y(x|y)

f(x,y)f(x,y)

， fY|X(y|x)， fY(y)fX(x)

（1）当x 0时， 当y

fX(x) 2e (2x y)dy 2e 2x；

0 0

0时，fY(y) 2e (2x y)dx e y.

2e 2x当x 0,y 0

故 fX|Y(x|y)

其他 0 e y当x 0,y 0

fY|X(y|x)

其他 0

（2）P{X

2|Y 1}

P{X 2,Y 1}

P{Y 1}

2

dx2e (2x y)dy

1

e

01

y

dy

1 e 1 e 4 e 5 4

. 1 e 1

1 e

4-17 （1）由于

fX(x) 1 (0 x 1)

fY|X(y|x)

1

(0 x 1, x y 1)1 x

1

当0 x 1,x y 1

故 f(x,y) 1 x

其他 0

（2）由于

fY(y)

f(x,y)dx

1

dx ln(1 y)

01 x

y

ln(1 y)当0 y 1

故 fY(y)

0其他

（3）

P{(X Y) 1} 1dy

2

1

1

dx ln2

1 y1 x

y

4-18

X与Y相互独立的充要条件是pij pi p j (i 1,2;j 1,2,3)，因此有

P{X 1,Y 3} P{X 1}P{Y 3}

111 1 1 B 6918 18 18