河北省唐山市2012届高三第二次模拟考试(数理)(2)

3

， 4

这时x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x2＋x2)＋1＝－(x21＋y21)(x22＋y22)＝(2－x21)(2－x22)＝4－2(x21＋x22)＋(x1x2)2 ＝4－2[(x1＋x2)2－2x1x2]＋(x1x2)2＝

33

16

→→cos OA，OB （21）解：

x1x2＋y1y21＋y21)(x22＋y22)

． 11

12分

（Ⅰ）f (x)＝x－

a2(x＋a)(x－a)． xx

1分

当x∈(0，a)时，f (x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f (x)＞0，f(x)单调递增．

1

当x＝a时，f(x)取得极小值也是最小值f(a)－a2lna．

2（Ⅱ）（ⅰ）设g(t)＝f(a＋t)－f(a－t)，则 当0＜t＜a时，

a2a22at2g (t)＝f (a＋t)＋f (a－t)＝a＋ta－t－＝＜0， 6分

a＋ta－tt2－a2所以g(t)在(0，a)单调递减，g(t)＜g(0)＝0，即f(a＋t)－f(a－t)＜0， 故f(a＋t)＜f(a－t)．

8分 4分

（ⅱ）由（Ⅰ），f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增， 不失一般性，设0＜x1＜a＜x2， 因0＜a－x1＜a，则由（ⅰ），得

f(2a－x1)＝f(a＋(a－x1))＜f(a－(a－x1))＝f(x1)＝f(x2)， 又2a－x1，x2∈(a，＋∞)， 故2a－x1＜x2，即x1＋x2＞2a． （22）解：（Ⅰ）连结OA、AD． ∵AC是圆O的切线，OA＝OB， ∴OA⊥AC，∠OAB＝∠OBA＝∠DAC， 又AD是Rt△OAC斜边上的中线， ∴AD＝OD＝DC＝OA，

∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60 ， 故∠ABC＝

1

AOD＝30 ． 2

2分

12分 11分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

在Rt△AEB中，∠EAB＝∠ADB＝60 ， ∴EA＝

1 1 3

AB＝×BD＝BD， 2224

EB＝

32＝22＝ 3 4

BD， 7分

由切割线定理，得EA2＝EF×EB， ∴316＝EF× 3 4BD， ∴BD＝4EF．

（23）解：

（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则 ρ＝

1 2ρ0＝ 1

2

·4(cosθ＋sinθ)＝2(cosθ＋sinθ)， 点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)， 两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，

C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2．（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，得

(tcosφ＋1)2＋(tsinφ－1)2＝2，即t2＋2(cosφ－sinφ)t＝0，t1＝0，t2＝sinφ－cosφ，

由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sinφ－cosφ＝0， 因为0≤φ＜ ，所以φ＝

4

．

（24）解：

|x|＋2|x－1|＝ 2－3x，x＜0，

（Ⅰ）f(x)＝ 2－x，0≤x≤1，

3x－2，x＞1．当x＜0时，由2－3x≤4，得－ 2

3≤x＜0；

当0≤x≤1时，1≤2－x≤2；

当x＞1时，由3x－2≤4，得1＜x≤2． 综上，不等式f(x)≤4的解集为[－ 2

3

，2]．

2a－3x，x＜0，

（Ⅱ）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ 2a－x，0≤x≤a，

3x－2a，x＞a．

可见，f(x)在(－∞，a]单调递减，在(a，＋∞)单调递增． 当x＝a时，f(x)取最小值a． 所以，a取值范围为[4，＋∞)．

10分

3分

5分 7分 10分

2分

5分

7分

10分