第7讲 中误差及误差传播定律2

第七讲 中误差及误差传 播定律学时：2学时 主讲：徐克科

12014-5-22

第三章

上讲回顾

§5.1 概述 观测误差的来源与分类 偶然误差 §5.2 衡量精度标准 中误差

m

n

Δi =Li -X

[vv] m n 12

vi x Li第三章

本讲主要内容 第5章 测量误差的基本知识 §5.3误差传播定律 §5.4算术平均值及观测值的中误差

3

第三章

§5.3 误差传播定律 阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB,是由起 始点A的高程HA加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而 得来的观测高差h1……hn求和得出的。这时未知点B的高程 H 。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误

差去求观测值函数的中误差呢？测量学 基础

§5.3 误差传播定律一、倍数的函数

设有函数：

z kx

Z为观测值的函数，K为常数，X为观测值，已知其中误差

为mx,求Z的中误差mZ。

z k x zi k xi (i 1,2 n)

2

zi

k 2

2

k 2 z 2 2 x

xi

(i 1,2 n)测量学 基础

n

n

§5.3 误差传播定律

mz

n 2 x mx n

2 z

2 2 x

m

2

z

k m

m z km x即，观测值与常数乘积的中误差，等于观测值 中误差乘常数。测量学 基础

§5.3 误差传播定律例：在1:500比例尺地形图上，量得A、 B两点间

的距离SAB=25.4mm,其中误差msab=土0.2mm,求A、B间的实地距离SAB及其中误差msAB。 解： SAB=500*Sab=500X25.4=11700mm=11.7m

得 msAB=500*mSab=500*(士0.2)

=±100mm最后答案为SAB=11.7m±0.1m测量学 基础

§5.3 误差传播定律二、和或差的函数设有函数：

z x y

Z为x、y的和或差的函数，x、y为独立观测值，已知其中误

差为mx、my,求Z的中误差mZ。设x、y和z的真误差分别为△x、△y和△z则

z x y zi xi yi 2 zi 2 xi 2 yi 2 x i yi

(i 1,2 n)(i 1,2 n)测量学 基础

§5.3 误差传播定律求和，并除以n,得2 z 2 x

2 2 y x y

n

n

n

n

由于Δx、Δy均为偶然误差，其符号为正或负的机会相同，因为Δx、Δy为独立误差，它们出现的正、负号互不相关， 所以其乘积ΔxΔy也具有正负机会相同的性质，在求[ΔxΔy]

时其正值与负值有互相抵消的可能；当 n愈大时，上式中最后一项[ΔxΔy]/n将趋近于零，即测量学 基础

§5.3 误差传播定律 将满足上式的误差 Δx 、 Δy 称为互相独立的

误差，简称独立误差，相应的观测值称为独立观测

值。对于独立观测值来说，即使 n 是有限量，由于lim n

0 式残存的值不大，一般就忽视它的x y

n

影响。根据中误差定义，得

m m m2 z 2 x

2 y

即，两观测值代数和的中误差平方，等于两观 测值中误差的平方之和。测量学 基础

§5.3 误差传播定律当z是一组观测值X1、X2…Xn代数和(差)的函数时， 即

z x1 x2 xn

可以得出函数Z的中误差平方为

m m m m2 z 2 x1 2 x2

2 xn

式中mxi是观测值xi的中误差。 n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测量学

测值中误差平方之和。

基础

§5.3 误差传播定律

例：设用长为L的卷尺量距，共丈量了n个尺段，已知每

尺段量距的中误差都为m,求全长S的中误差ms。解：因为全长S=L+L+……+Ll(式中共有n个L)。而L 的中误差为m。

mS m n量距的中误差与丈量段数n的平方根成正比。

测量学 基础

§5.3 误差传播定律

例如以30m长的钢尺丈量 90m的距离，当每尺

段量距的中误差为±5mm时，全长的中误差为

mS m n

m90 5 3 8.7mm

测量学 基础

§5.3 误差传播定律

当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误 差都为 mL ,则每公里长度的量距中误差 mKm 也是相等的。

当对长度为 S 公里的距离丈量时，全长的真误差将是 S个一公里丈量真误差的代数和，于是S公里的中误差为 式中，S的单位是公里。ms

smks

即：在距离丈量中，距离 S 的量距中误差与长度 S 的平 方根成正比。测量学 基础

§5.3 误差传播定律例：为了求得 A、B两水准点间的高差，今自 A点开始进 行水准测量，经n 站后测完。已知每站高差的中误差均 为m站，求A、B两点间高差的中误差。 解：因为 A 、 B 两点间高差 hAB 等于各站的观测高差 hi (i=l,2…n)之和，即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn 即，水准测量高差的中误差，与测站数 n 的平方根成正 比。

mh AB n m站

测量学 基础

§5.3 误差传播定律当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高 差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的 水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为2 2 2 2 2 mh m m m Sm km km km km AB 或 S个

mhAB s mkm

即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。 例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量 时，每公里高差的中误差为±20mm,则按这种水准测量进测量学

行了25km后，测得高差的中误差为 20 25 100mm

基础

§5.3 误差传播定律三、线性函救设有线性函数：

z k1 x1 k

2 x2 k n xn4 9 1 z x1 x 2 x3 14 14 14

则有

m2 z (k1 x1 ) 2 (k 2 x2 ) 2 (k n xn ) 2

例 设有线性函救

观测量的中误差分别为， m 3mm, m 2mm, m 6mm 1 2 3求Z的中误差 4 9 1 m z 3 2 6 1.6m m 14 14 14 2 2 2

测量学 基础

§5.3 误差传播定律四、一般函数

z f x1 , x2 xn 当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这 些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差 与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分

来表达。

f f f z x x1 x x2 x 1 2 n

xn

测量学 基础

§5.3 误差传播定律

式中

的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们 是常数，因此上式是线性函数可为： f 2 f x m 1 x 1 22

f xi

(i=l,2…n)是函数对各个变量所取

m

2

z

f 2 m 2 x n

2

2 m n 测量学 基础

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