小学奥数之三阶幻方讲义

小学奥数讲义及练习

三阶幻方

同学们：

在3 3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。如果在4 4（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4 4方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

（一）思路指导与解答

例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

a

d

be

cfi

gh

图1 图2

分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。看图（2）：

（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。 （2）求幻和：

幻和 (1 2 3 4 5 6 7 8 9) 3

45 3

15

（3）选择突破口，显然是e，看图2。

因为：a e i b e h c e g d e f 15 所以：(a e i) (b e h) (c e g) (d e f) 15 15 15 15 60

也就是：(a b c d e f g h i) 3 e 60 又因为：a b c d e f g h i 45 所以45 3 e 60

3 e 60 45 e 5

也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。

（4）四个角上的数，a、c、g、i的特点。

我们先从a开始：想：a是奇数还是偶数。如果a为奇数，因为a i 10，所以i也是奇数。因为奇＋奇＝偶。又因为a d g 15，所以d与g同是奇数或同是偶数。分两

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种情况：

<1>当d、g都是奇数时，因为d e f 15，g h i 15，其中e，i都是奇数，所以f、h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数，而1～9中九个数只有五个奇数，所以矛盾，说明d、g不可能为奇数。

<2>当d、g为偶数时，因为d f 10，g h i 15，c g 10，因为i为奇数，所以f、h、c只能是偶数，这样就有c、d、f、g、h五个偶数，而1～9这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明d、g都是偶数也不行。

所以a不能是奇数，那么只能是偶数，于是由a i 10知i也是偶数。 用同样的方法可以得到c、g也只能是偶数。也就是说图1中四个角上的数都应填偶数。 （5）试验填数排出幻方。

因为e 5，a、c、g、i是偶数，所以a的范围有2、4、6、8四个数，根据幻和等于15进行试验。

当a 2时，i 8，c 4或6，若c 4，则有g 6 b 9，d 7，f 3，h 1，若c 6，则有g 4 b 7，d 9，f 1，h 3，这样可填出两个幻方。 当a 4、6、8时，请同学们自己练习填写。 用1～9这九个数编排的三阶幻方有八个：

294

7

276951438

492357816

53

618

438 9512768

34

1

672159834816357图3

618753294

59

说明：在上面图形中给出的用1～9这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。从而得到其它七个图形。

例2. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。

分析：根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为24 3 8，那么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。 因为：1 15 16，4 12 16，7 9 16

2 14 16，5 11 163 13 16，6 10 16