数学建模 微分方程模型(2)

其中 A 为常数。

a 在[0, ]时间内，设用于广告的花费为

,则 A= ,代入

a

(3—23)式，有dS P a a S P dt M

令b

P a = , M

c=

Pa

则有dS bS c dt

(3—24)

解(3—24)式，得 S(t)= ke bt c b

(3—25)

其中为任意常数，给定初值 S(0)=S 0 ,则(3—25)式成为 S(t)= (1 e bt ) S 0 e btc b

(3—26)

当 t 时，由 A(t)

的表达式，则(3—23)式变为dS S dt

(3—27)

其解为 S(t)= ke t (3—28)

仍为任意常数。为保证销售速度 S(t)不间断，我们在

(3—26)式中取 t 而得到 S( ),将其作为(3—27)式的 初始值，故(3—28)式解为 S(t)=S( ) e ( t ) (3—29)

这样，联合(3—26)式与(3—29)式，我们得到 c (1 e bt ) S0e bt S(t)= b S ( )e ( t ) t 0 t