2014高考数学第一轮复习 立体几何表面积体积计算

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大.

空间几何体的表面积与体积

【2014年高考会这样考】

考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 【复习指导】

本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．

基础梳理

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

(1)

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大.

两种方法

(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． 体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )． A．4πS C．πS

B．2πS 23

D.3S

π

解析 设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝ 又h＝2πr＝2πS，∴S圆柱侧＝πS)2＝4πS. 答案 A

2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．

A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2

解析 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为 2a ＋a＋a＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R6a.∴S球＝4πR2＝6π

a2. 答案 B

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大.

3．(2011·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是

( )．

A．8 C．10

B．2 D．2

解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C. 答案 C 4．(2011·湖南)设

右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )． 99

A.2π＋12 B.2π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18

解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体4 3 9

的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋3π 2 3＝2π＋18.

答案 B

5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 4π

解析 V3R3＝3π，∴R3，S＝4πR2＝4π·3＝12π. 答案 12π

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大.

考向一 几何体的表面积

【例1】 (2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

( )．

A．48 C．48＋17

B．32＋17 D．80

[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．

解析 换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋17. 答案 C

以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进

行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． 【训练1】 若一

个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于( )． A.3 C．3

B．2 D．6

解析 由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝

6.

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大.

答案 D

考向二 几何体的体积

【例2】 (2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )．

A．183 B．123 C．3 D．3

[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．

解析 该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为33，故V＝3×3×3＝93. 答案 C

以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原

几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．

【训练2】 (2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．

2816

A.3π B.3π 4

C.3＋8 D．12 π

解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1

的球

考查柱、锥、台、球的体积和表面积,由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,难度有所增大.

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的组合体，则该几何体的体积为π×2×2＋3＝3

2

答案 A

考向三 几何体的展开与折叠

【例3】 (2012·广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD； (2)求几何体DABC的体积．

[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC垂直于平面ACD内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明． (1)证明 在图中，可得AC＝BC＝22，

从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC， 取AC的中点O，连接DO，

则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO 平面ADC，从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC， 又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD.

(2)解 由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC＝22，S△ACD＝2，∴VBACD＝ 1142S·BC＝2×22＝3△ACD33，

2由等体积性可知，几何体DABC的体积为3.

(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠

后的空间图形

)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．

(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化

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