高中数学必修4任意角的三角函数

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角的范围已经推广，那么对任一角 α 是否也能像锐 角一样定义其四种三角函数呢？ 我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 α 为 自变量，以比值为函数值，定义了角α 的正弦、余弦、正 切、余切的三角函数，本节课我们研究当角α 是一个任意 角时，其三角函数的定义及其几何表示.

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任意角的三角函数定义

设 α 是任意角，α 的终边上任意一点P 的坐标是 (x,y ) , 当角α 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距 离为 r ,则 r =x + y = x2 + y 2 > 02 2

.

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任意角的三角函数所在象限的课件 定义： 定义：

y y ①比值 叫做α 的正弦，记作sin α ,即 sin α = . r r

x x ②比值 叫做α 的余弦，记作cosα ,即cos α = . r r y ③比值 叫做 α 的正切，记作tan α ,即 tan α = xy . x

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提问：对于确定的角α ,这三个比值的大小和 P 点在角α 的 终边上的位置是否有关呢？ 观察当 α =

π2

+ kπ (k ∈ Ζ ) 时，α 的终边在

y 轴上，此

时终边上任一点P

y 的横坐标 x 都等于0,所以 tan α = 无 x

意义，除此之外，对于确定的角α ,上面三个比值都是惟 一确定的.把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么 得到另外三个定义.

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x x ④比值 叫做 α 的余切，记作 cot α ,则 cot α = . y y

r r ⑤比值 叫做α 的正割，记作secα ,则 sec α = . x xr r ⑥比值 叫做 α 的余割，记作 cscα ,则 cscα = . y y我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看 成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种 函数统称三角函数.

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三角函数是以实数为自变量的函数

实数 →角(其弧度数等于这个实数) →三角函数值(实数)

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三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线， 正切线.三角函数的几何表示课件

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当角α 的终边不在坐标轴上时，我们把 OM , 都看 MP 成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段.由正 弦、余弦、正切函数的定义有：y y sin α = = = y = MP r 1

x x cos α = = = x = OM r 1y MP AT tan α = = = = AT x OM OA

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这几条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT 叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线. 当角α 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别 变成一个点； 当角α 的终边在 y 轴上时，弦线变成一个点，正 切线不存在.

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例1已知角α 的终边经过P( 2, 3),求α 的六个三角函数值.

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提问：若将P( 2, 3)改为P( 2a, 3a ) (a ≠ 0) , 如何 求α 的六个三角函数值呢？ 分 a > 0 ,a < 0 两种情形讨论.

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例2求下列各角的六个三角函数值 (1)

π

3π ;(2) 2

;(3)2π .

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例3作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线.

2π (1) ;(2) . 3 3

π

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例4求证：当α 为锐角时，sin α < α < tan α .

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课堂练习(1)角α 的终边在直线 y = 2 x 上，求 α 的六个三角函数值.

3a (2)角α 的终边经过点 P( 4a, )(a ≠ 0) ,求 sin α ,cosα , α , α 的值. tan cot

(3)说明 sin (2kπ + α ) = sin α 的理由 (k ∈ Ζ) .

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反馈训练(1)若角α 终边上有一点P( 3,),则下列函数值不存在 0 的是( ). A.sin α B. α C.tan α D. α cot cos (2)函数 y = tan x + cot x 的定义域是(π A.x x ∈ R,x ≠ ,x ≠ π 2

).

k B. x x ∈ R,x ≠ π,k ∈ Z 2

{ C.x x ∈ R,x ≠ kπ,k ∈ Z}

π x x ∈ R,x ≠ kπ + ,k ∈ Z D. 2

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m3 4 2m cos (3)若 sin θ = , θ= 都有意义，则 m+5 m+5

m = ________ .3 (4)若角 θ 的终边过点 P(a, ,且 cos θ = , 8) 5 则 a = ________ .

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本课小结利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐 标系，角α顶点和始边要按既定的位置设 置.角的三角函数定义式，其实是比例的化 身，它的背后是相似形在支称着，不过这个 定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如 果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是 很容易.