专题一 第六讲 数学思想方法与答题模板建构

第6讲 数学 思想 活用数学思想 追求高效解题

方法与答 题模 板建 构 巧用答题模板 建立答题规范

1.数形结合思想 所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通 过数与形的相互转化来解决数学问题的思想. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：

(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质； (2)“以数解形”,把直观图形数量化，使形更加精确. 本专题中集合的运算、求二次函数的最值，确定函数零点 问题、求不等式恒成立中参数等都经常用数形结合思想.

[例 1]

(2011· 陕西高考改编)函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞) ( B.有且仅有一个交点 D.有无穷多个交点 )

内与 x 轴 A.没有交点 C.有且仅有两个交点

1 [解析] 原函数 f(x)= x-cosx 可理解为函数 x2与余弦函数的差， 1 其中函数 x2在区间[0,+∞)上单调递增、余弦函数的最大值为 1, 在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第 2 个最高点是 x=2π,且 2π>1=cos2π,不难发现交点仅有一个，正 确选项为 B.

[答案] B

2.方程思想

方程思想，就是未知和已知的思想，通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、不等式(组),或者构造 方程(组)、不等式(组),通过求方程(组)、不等式(组)的 解或讨论方程(组)、不等式(组)的解的情况，使问题得以 解决，方程思想应用非常普遍，在各类题目中，凡是不 能直接计算的未知数，都要列方程(组)来求解.

[例2]

(2011· 湖北高考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足 ( 1 x -x B. (e +e ) 2 1 D. (ex-e-x) 2 )

f(x)+g(x)=ex,则g(x)= A.e -ex-x

1 C. (e-x-ex) 2

[解析] 由f(x)+g(x)=ex可得f(-x)+g(-x)=e x,又f(x)为偶函-

数，g(x)为奇函数，可得f(x)-g(x)=e-x,则两式相减可得g(x)= ex-e-x . 2

[答案] D

[例3] (2011· 浙江高考)设x,y为实数，若4x2+y2+ xy=1,则2x+y的最大值是________.

3 3 [解析] ∵4x +y +xy=1,∴(2x+y) =3xy+1= ×2xy+1≤ 2 22 2 2

2x+y 2 ×( ) +1, 2 8 2 10 ∴(2x+y) ≤ ,(2x+y)max= . 5 52

[答案]

2 10 5

[命题角度分析] 本专题是每年高考的重点和难点，既有选择题又有填空题，

还有解答题.解答题一般难度较大，解答题常见的考查方式有以下几种形式：一是直接把导数应用于函数的研究中， 考查函数的单调性、极值、最值等性质；二是把导数与函数、 方程、不等式、数列等知识相联系，综合考查函数的最值或 求参数的值(或范围);三是用导数解决实际问题.

[答题模板构建]

[例 4]

(本小题满分 12 分) (2011· 陕西高考)

设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+

1 f ′(x).(文科提示：(lnx)′=x) (1)求 g(x)的单调区间和最小值； 1 (2)讨论 g(x)与 g(x)的大小关系； 1 (3)求 a 的取值范围，使得 g(a)-g(x)<a对任意 x>0 成立.

[解]

1 (1)由题设知f(x)=lnx,g(x)=lnx+x,

x-1 ∴g ′(x)= 2 .令g ′(x)=0得x=1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(1分) x 当x∈(0,1)时，g ′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间，┄┄┄(2分) 当x∈(1,+∞)时，g ′(x)>0,故(1,+∞)是g(x)的单调增区间， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3分) 因此，x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值 点， 所以g(x)的最小值为g(1)=1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分)

第一步 确定使g′(x)为零的点； 第二步 确定g(x)的单调区间；

第三步 确定g(x)的最小值.

1 (2)g(x)=-lnx+x, x-1 2 1 1 设h(x)=g(x)-g(x)=2lnx-x+x,则h′(x)=- ,┄┄(5分) x2 1 当x=1时，h(1)=0,即g(x)=g(x);┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分) 当x∈(0,1)∪(1,+∞)时h′(x)<0,h′(1)=0, 因此，h(x)在(0,+∞)内单调递减，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(7分) 1 当0<x<1时，h(x)>h(1)=0,即g(x)>g(x);┄┄┄┄┄┄┄(8分) 1 当x>1时，h(x)<h(1)=0,即g(x)<g(x).┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)

第一步 第二步 第三步

求“差”函数 h(x)的导数.确定单调性； 确定 h(x)在相应区间上的符号； 1 得 g(x)和 g(x)的大小关系.

1 (3)由(1)知g(x)的最小值为1,所以g(a)-g(x)<a,对任意x>0成立. 1 所以g(a)-1<a.即lna<1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分) 从而得0<a<e.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)