山东省平邑县高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关

1 1.2.2同角三角函数的基本关系

【学习目标】

1．掌握同角三角函数的基本关系式；

2．灵活运用公式解决变形、求值、证明等问题.

【新知自学】

预习课本P30---33页的内容， 知识回顾：

1、知识回顾：（1）任意角的三角函数是如何定义的？

（2）在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？

对于一个任意角ααααtan ,cos ,sin ,是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，你能找出这种同角三角函数之间的基本关系吗？

新知梳理：

（

①平方关系：αα22cos sin +=_______；（运用三角函数线，体现数形结合） ②商的关系：=ααcos sin ___________(Z k k ∈+≠,2

ππα).（运用定义） （2）文字叙述：同一个角错误！未找到引用源。的正弦、余弦的_________等于1，商等于角错误！未找到引用源。的_______. 感悟：

. 对点练习：

1．化简7sin -12π

的结果是（ ）

2 A.sin 7π B.-sin 7π

C.cos 7π

D.-cos 7π

2.已知α是第二象限角，且sin α=53，则cos α=_________,tan α=_________.

3.已知sin α=31

，则sin 4α-cos 4α=_______________.

4．化简：

（1）θθtan cos ?= ；

（2）αα22sin 211

cos 2--= ；

（3）02100sin 1- = ；

（4）0010cos 10sin 21- = ；

【合作探究】 典例精析：

题型一：利用同角三角函数关系求值

例1. 若sin θ＝－45，tan θ>0，求cos θ.

3

变式1.

（1）已知α是第二象限角且tan α＝－512，求sin α、cos α的值.

（2）已知tan α＝3，求sin 2α＋2sin α·cos α的值．

题型二：利用同角三角函数关系化简、证明

例2. 求证cos 1sin

1sin cos x x

x x +=-

变式2. 化简

(,)2π

θπ∈

4

题型三：正余弦的和、差、积之间的转化

例3、已知sin θ＋cos θ＝15

，θ∈(0，π)，试分别求①sin θcos θ；②sin θ-cos θ；③ta n θ+

θtan 1.的值。

变式2.已知sin αcos α＝18，且π4<α<π2

，则cos α－sin α＝_______. 感悟：结合过去学过的代数公式，及其上边的关系式，小组内讨论：sin ααcos +、sin α-cos α、sin ααcos ?、ααtan 1tan +

这四个式子间的关系。 【课堂小结】

【当堂达标】

1．已知α是第四象限角，cos α=，13

12则sin α等于（ ） A.135 B.-135 C.125 D.-12

5

2．若3sin 5m m θ-=+，42cos 5

m m θ-=+，且2πθπ<<，则m 的值为 ___ ．

3．已知tan α=2，则

α

αααsin cos 3cos 2sin +-=_______________

4．已知sin α－cos α＝12

，求sin 3α－cos 3α的值.

5

【课时作业】

1．若cos α=53-，且α)23,(π

π∈，则tan α=_____________.

2．化简：

（1）错误！未找到引用源。1－2sin 40°cos 40°=__________；

（2） 440sin 12-=_______________.

3．已知),0(,2cos sin πααα∈=-，则tan α=（ ） A.-1 B.22

- C.22 D.1

4．已知tan α＝3，求下列各式的值：

(1)4sin α－cos α

3sin α＋5cos α； (2)34sin 2α＋12cos 2

α.

5．求证：ααααcos sin 1

tan 1tan =+

6．求证：sin4α-cos4α=2sin2α-1.

*7．若cos α<0，化简1－sin α

1＋sin α

+

1＋sin α

1－sin α

=_______________．

【延伸探究】

*8．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．

(1)求sin3θ＋cos3θ的值；

(2)求tan θ＋

1

tan θ

的值．

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