历年全国人教版数学高考真题与模拟题分类汇编 e单元 不等式(理科

数学E单元不等式

E1 不等式的概念与性质

10．H6、E1 设双曲线x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F

作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )

A．(－1，0)∪(0，1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－2，0)∪(0，2)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

10．A 由题意得A(a，0)，不妨取Bc，b2

a

，Cc，－

b2

a

，由双曲线的对称性

知D在x轴上，设D(x

0，0)，由BD⊥AC得

b2

a

－0

c－x

·

b2

a

a－c

＝－1，解得c－x

＝

b4

a2（c－a）

，

由题可知c－x

0＝

b4

a2（c－a）

<a＋a2＋b2＝a＋c，所以

b4

a2

<c2－a2＝b2?

b2

a2

<1?0<

b

a

<1.因为双曲线渐近线的斜率为±b

a

，所以渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，

1)．

22．D3、E1、E7 在数列{a

n }中，a

1

＝3，a

n＋1

a

n

＋λa

n＋1

＋μa2

n

＝0(n∈N

＋

)．

(1)若λ＝0，μ＝－2，求数列{a

n

}的通项公式；

(2)若λ＝1

k

(k

∈N

＋

，k

≥2)，μ＝－1，证明：2＋

1

3k

＋1

<ak0＋1<2＋

1

2k

＋1

.

22．解：(1)由λ＝0，μ＝－2，有a

n＋1a

n

＝2a2

n

(n∈N

＋

)．

若存在某个n

0∈N

＋

，使得an0＝0，则由上述递推公式易得an0－1＝0.重复

上述过程可得a

1＝0，与a

1

＝3矛盾，所以对任意n∈N

＋

，a

n

≠0.

从而an＋1＝2a

n (n∈N

＋

)，即{a

n

}是一个公比q＝2的等比数列．

故a

n ＝a

1

q n－1＝3×2n－1.

(2)证明：因为λ＝1

k

，μ＝－1，所以数列{a

n

}的递推关系式即为

a n＋1a

n

＋

1

k

a

n＋1

－a2

n

＝0，变形为a

n＋1

a

n

＋

1

k

＝a2

n

(n∈N

＋

)．

由上式及a

1

＝3>0，归纳可得

3＝a

1>a

2

>…>a

n

>a

n＋1

> 0

因为a

n＋1＝

a2

n

a

n

＋

1

k

＝

a2

n

－

1

k2

＋

1

k2

a

n

＋

1

k

＝a

n

－

1

k

＋

1

k

·

1

k

a

n

＋1

，所以

ak0＋1＝a

1＋(a

2

－a

1

)＋…＋(ak0＋1－ak0)＝

a 1－k

·

1

k

＋

1

k

·

1

k

a

1

＋1

＋

1

k

a

2

＋1

＋…＋

1

k

ak0＋1

>2＋

1

k

·

1

3k

＋1

＋

1

3k

＋1

＋…

＋1

3k

0＋1

k

个＝2＋

1

3k

＋1

.

另一方面，由上已证的不等式知a

1>a

2

>…>ak0>ak0＋1>2，得

ak0＋1＝a

1－k

·

1

k

＋

1

k

·

1

k

a

1

＋1

＋

1

k

a

2

＋1

＋…＋

1

k

ak0＋1

<2＋

1

k

·

1

2k

＋1

＋

1

2k

0＋1

＋…＋

1

2k

＋1

k

个＝2＋

1

2k

＋1

.

综上，2＋

1

3k

＋1

<ak0＋1<2＋

1

2k

＋1

.

E2 绝对值不等式的解法

4．A2、E2、E3 设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( ) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．A 由|x －2|<1，解得1<x<3；由x 2＋x －2>0，解得x>1或x<－2.由1<x<3可以推出x>1或x<－2，反之，不成立，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0 ”的充分不必要条件．故选A.

E3 一元二次不等式的解法

7．E3 不等式2x2－x<4的解集为________．

7．{x|－1<x<2}(或(－1，2)) 因为2x2－x<4＝22，所以x 2－x<2，解得－1<x<2，故不等式的解集为(－1，2)．

4．A2、E2、E3 设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．A 由|x －2|<1，解得1<x<3；由x 2＋x －2>0，解得x>1或x<－2.由1<x<3可以推出x>1或x<－2，反之，不成立，所以“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0 ”的充分不必要条件．故选A.

E4 简单的一元高次不等式的解法

E5 简单的线性规划问题

6．E5 若变量x ，y 满足约束条件???4x ＋5y ≥8，

1≤x ≤3，0≤y ≤2，

则z ＝3x ＋2y 的最小值为

( )

A ．4 B.235

C ．6 D.315

6．B 画出约束条件表示的可行域如图所示，易知目标函数在点A 处取得

最小值，A 点的坐标为? ????1，45，所以z min ＝3＋2×45＝235.