2019年春八年级数学下册矩形、菱形与正方形19.1矩形19.1.2第1课

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课时作业(三十一)

[19.1 2. 第1课时矩形的判定]

一、选择题

1．如图K－31－1，要使平行四边形ABCD是矩形，可添加的条件是链接听课例3归纳总结( )

图K－31－1

A．OA＝OC，OB＝OD B．AC＝BD

C．AB＝BC D．AC⊥BD

2．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中正确的说法有( ) A．2个B．3个

C．4个D．5个

3．如图K－31－2，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则四边形ABCD必须满足的条件是( )

A．AD⊥CD B．AD＝CD

C．AC⊥BD D．AC＝BD

K－31－2

K－31－3

4．如图K－31－3，在锐角三角形ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN ∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB处的外角平分线于点F，下列结论中正确的是( )

①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．

A．①②B．①④

C．①③④ D．②③④

二、填空题

5．如图K－31－4，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，

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DB.请你添加一个条件：__________，使四边形DBCE是矩形．

K－31－4

图K－31－5

6．如图K－31－5所示是由四根木棍钉成的平行四边形框架，AB＝8 cm，AD＝6 cm，现固定AB，转动AD，当∠DAB＝________时，?ABCD的面积最大，此时四边形ABCD是________，面积是__________.链接听课例1归纳总结

图K－31－6

7．如图K－31－6，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6 cm，E是斜边AB上任意一点，则点E到两直角边的距离之和为________cm.

三、解答题

8．如图K－31－7，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．

图K－31－7

9.如图K－31－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O是斜边AB上的点，∠A＝∠ABF，EF ∥BC.

求证：四边形BCEF是矩形.链接听课例2归纳总结

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图K－31－8

10．如图K－31－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠B和∠BCD互补，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4 cm，四边形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．

图K－31－9

11．2017·徐州如图K－31－10，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连结DO 并延长，交AB的延长线于点E，连结BD，EC.

(1)求证：四边形BECD是平行四边形；

(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形.链接听课例1归纳总结

图K－31－10

12．2018·青岛如图K－31－11，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，G为AD 的中点，连结CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连结FD.

(1)求证：AB＝AF；

(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

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图K－31－11

动点探究如图K－31－12所示，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，点P从点A开始沿折线ABCD以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P和Q 分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)，当t为何值时，四边形APQD为矩形？

图K－31－12

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详解详析

【课时作业】

[课堂达标]

1．[答案] B

2．[答案] B

3．[答案] C 4.[答案] B

5．[答案] EB ＝DC(答案不唯一)

6．[答案] 90° 矩形 48 cm 2

7．[答案] 6

8．证明：∵E 是OA 的中点，G 为OC 的中点，

∴OE ＝12OA ，OG ＝12

OC. ∵在矩形ABCD 中，OA ＝OC ，∴OE ＝OG.

同理OF ＝OH ，

∴四边形EFGH 是平行四边形．

∵OE ＝12OA ，OG ＝12

OC ， ∴EG ＝OE ＋OG ＝12

AC. 同理FH ＝12

BD. 又在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，∴EG ＝FH ，

∴四边形EFGH 是矩形．

9．证明：∵EF ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°，

∴∠CEF ＝90°.

∵∠A ＝∠ABF ，∴BF ∥AC ，

∴∠CBF ＝180°－∠C ＝90°，

∴四边形BCEF 是矩形．

10．解：∵AD ∥BC ，∠D ＝90°，∴∠BCD ＝90°.

∵∠B 和∠BCD 互补，∴∠B ＝90°，

∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°.

∵EF ⊥CE ，∴∠FEC ＝90°，

∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.

而∠DCE ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE.

又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝CE ，

∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD.

∵四边形ABCD 的周长为32 cm ，AD ＝AE ＋DE ，

∴2(AE ＋AE ＋4)＝32，解得AE ＝6(cm )．

11．[解析] (1)先根据A .A .S .证明△EBO ≌△DCO ，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定；

(2)若四边形BECD 为矩形，则BC ＝DE ，BD ⊥AE ，又AD ＝BC ，∴AD ＝DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB ＝∠EDB ＝40°，故∠BOD ＝180°－∠ADE ＝100°.

解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥DC ，

∴∠EBO ＝∠DCO ，∠BEO ＝∠CDO.

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∵O是边BC的中点，∴BO＝CO，

∴△EBO≌△DCO，∴EO＝DO.

又∵BO＝CO，

∴四边形BECD是平行四边形．

(2)100

12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠FAD＝∠CDG.

∵G为AD的中点，∴AG＝DG.

又∵∠AGF＝∠DGC，

∴△AGF≌△DGC，

∴AF＝CD.

又∵AB＝CD，∴AB＝AF.

(2)四边形ACDF为矩形．

证明：∵∠BCD＝120°，

∴∠BAD＝120°，∴∠FAG＝60°.

又∵AG＝AB，AB＝AF，

∴AG＝AF，

∴△AGF为等边三角形，∴AG＝FG.

∵AF∥CD，AF＝CD，

∴四边形ACDF为平行四边形，

∴AD＝2AG，CF＝2FG，

∴AD＝CF，

∴四边形ACDF为矩形．

[素养提升]

[解析] 若四边形APQD为矩形，已有∠A＝90°，需满足四边形APQD为平行四边形，只需AP＝DQ.

解：根据题意，当AP＝DQ时，

由AB∥CD，可得四边形APQD为平行四边形．

又∵∠A＝90°，∴四边形APQD为矩形．

∵CQ＝t，∴DQ＝20－t.

又∵AP＝4t，∴4t＝20－t，解得t＝4，

∴当t为4 s时，四边形APQD为矩形．