2019届高考数学理北师大版大一轮复习学案：第十三章推理与证明算

§13.3 数学归纳法

数学归纳法

数学归纳法是用来证明某些与正整数n 有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：

(1)验证：当n 取第一个值n 0(如n 0

＝1或2等)时，命题成立；

(2)在假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n 0开始的正整数n 都成立．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( × )

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )

(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )

(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2

n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )

(6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )

题组二 教材改编

2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 C 解析 凸n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验n ＝3.

3．已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N ＋，且a 1＝2，则a 2＝______，a 3＝______，a 4＝______，猜想a n ＝______.

答案 3 4 5 n ＋1

题组三 易错自纠

4．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a

n ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等式左边的项是( )

A ．1

B ．1＋a

C ．1＋a ＋a 2

D ．1＋a ＋a 2＋a 3 答案 C

解析 当n ＝1时，n ＋1＝2，

∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.

5．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：

(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．

则上述证法( )

A ．过程全部正确

B ．n ＝1验证得不正确

C ．归纳假设不正确

D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确

答案 D

解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．

6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是__________．

答案 2k

解析 运用数学归纳法证明

1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．

当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k 项的和．

当n ＝k ＋1时，则

左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k

项.

题型一 用数学归纳法证明等式

1．用数学归纳法证明：

12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)

(n ∈N ＋)． 证明 (1)当n ＝1时，

左边＝12×1×(2×1＋2)＝18

， 右边＝14(1＋1)＝18

， 左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋且k ≥1)时等式成立，即有

12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)

， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]

＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)

＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14(k ＋1＋1)

. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，

由(1)(2)可知，对于一切n ∈N ＋等式恒成立．

2．(2018.朝阳模拟)设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)

(n ∈N ＋)． 求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N ＋)．

证明 (1)当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，

右边＝2? ??

??1＋12－1)＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，结论成立，即

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，

那么，当n ＝k ＋1时，

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )

＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k

＝(k ＋1)????

??f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1)＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，

∴当n ＝k ＋1时结论成立．

由(1)(2)可知当n ≥2，n ∈N ＋时，f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]． 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意

(1)明确初始值n 0的取值并验证当n ＝n 0时等式成立．

(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．

(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法． 题型二 用数学归纳法证明不等式

典例 设实数c >0，整数p >1，n ∈N ＋.

(1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px ； (2)数列{a n }满足a 1>1p c ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p

a 1

－p n .证明：a n >a n ＋1>1p c . 证明 (1)①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设当p ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立． 则当p ＝k ＋1时，

(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )

＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .

所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，当x >－1，且x ≠0时，

对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．

(2)方法一 ①当n ＝1时，由题设知a 1>1p c 成立．

②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式a k >1p c 成立．

由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p

a 1

－p n 易知a n >0，n ∈N ＋. 则当n ＝k ＋1时，

a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ? ??

??c a p k －1. 由a k >1p

c >0得－1<－1p <1p ? ??

??c a p k －1<0. 由(1)中的结论得? ????a k ＋1a k p ＝??????1＋1p ? ????c a p k －1p >1＋p ·1p ? ????c a p k －1＝c a p k .

因此a p

k ＋1>c ，即a k ＋1>1

p c .

所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >1

p c 也成立．

综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >1p c 均成立． 再由a n ＋1a n ＝1＋1p ? ????c a p n －1可得a n ＋1a n

<1， 即a n ＋1<a n .

综上所述，a n >a n ＋1>1

p

c ，n ∈N ＋. 方法二 设f (x )＝p －1p x ＋c p

x 1－p ，x ≥1p c ， 则x p ≥c ，

并且f ′(x )＝p －1p ＋c p

(1－p )x －p ＝p －1p ? ??

??1－c x p >0，x >1p c . 由此可得，f (x )在[1p c ，＋∞)上是增加的， …… 此处隐藏：3022字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……