习题课三(数值积分和数值微分)

习题课数值微分和数值积分

1 用三点公式求 f ( x) 2 在x=1.0,1.1, (1 x)

1.2处的导数值，f (x)的函数值如下所示xi f (xi) 1.0 0.25000 1.1 0.6226757 1.2 0.206612

解：x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2;h=0.1 3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) f ' ( x0 ) 2h 3 0.25 4 0.6226757 0.206612 f ' (1.0) 7.670454 2 0.1

f ( x0 ) f ( x2 ) f ' ( x1 ) 2hf ' (1.1) 0.25 0.206612 0.21694 2 0.1

f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f ' ( x2 ) 2hf ' (1.2) 0.25 4 0.6226757 3 0.206612 8.104334 2 0.1

6.若用复化梯形公式与复化辛卜生公式计算积 1 分 e x dx,问区间[0,1]应多少等分才能使截断 0 误差不超过0.5× 10-5?若改用复化辛普生公式， 要得到同样精度区间[0,1]应多少等分？解：利用给定的精度和两种方法的余项公式 进行计算

f ( x) e x( 4) x f ( x) f ( x) e

f ( x) f ( 4) ( x) e1 e

0≤x≤1

由复化梯形截断误差公式，得(b a)3 1 5 1 I ( f ) Tn ( f ) M e 10 2 2 12n 2 12n 2

n 212 .8

解得 n 213

所以积分区间应等分213份 由复化辛卜生截断误差公式，得(b a)5 1 5 1 I ( f ) Sn ( f ) M e 10 4 2 2880 m4 2880 m4

m 3.7

解得 m 4

所以积分区间应等分4份

已知

1 1 3 x0 , x1 , x2 4 2 4

(1)推导以这3个点作为求积节点在[0,1]上 的插值型求积公式。 (2)指明求积公式所具有的代数精度。 (3)用所求公式计算 1 x 2 dx 。 0 (4)指出所得公式与一般的Newton-Cotes型公 在形式上的重要区别。

解:(1)

1 1 3 x0 , x1 , x2 4 2 41

1 ( x 1 )(x 3 ) ( x x1 )(x x2 ) 2 2 4 A0 dx 1 1 1 3 dx 0 ( x x )(x x ) 0 ( )( ) 3 0 1 0 2 4 2 4 4

1 ( x 1 )(x 3 ) ( x x0 )(x x2 ) 1 4 4 A1 dx 1 1 1 3 dx 0 ( x x )(x x ) 0 ( )( ) 3 1 0 1 2 2 4 2 4 11 ( x 1 )(x 1 ) ( x x0 )(x x1 ) 2 4 2 A2 dx 3 1 3 1 dx 0 ( x x )(x x ) 0 ( )( ) 3 2 0 2 1 4 4 4 2 1

所以该插值型求积公式为3 1 1 1 2 I 2 f ( ) f ( ) f ( 3 4 3 2 3 4)

(2)求代数精度，f (x)分别取1,x,x2, x3, …代入求积公式f ( x) 1

左边=12 1 2 右边= 3 3 3 1

左=右

f ( x) x

左边= 右边=

1 2 1 x 2 0 22 1 1 1 2 3 1 3 4 3 2 3 4 2

1

左=右

f ( x) x

21

左边=

1 3 1 2 0 x dx 3 x 0 312 2

右边=

2 1 1 1 2 3 1 3 4 3 2 3 4 3

2

左= 右

f ( x) x3左边= 右边=1 4 1 0 x dx 4 x 0 41 3 1

2 1 1 1 2 3 1 3 4 3 2 3 4 4

3

3

3

左= 右

f ( x) x 41 5 1 4 x dx x 左边= 0 5 0 51 1

右边=

2 1 1 1 2 3 37 3 4 3 2 3 4 192

4

4

4

左≠ 右

所以该公式具有3次代数精度 (3)计算积分值2 1 1 1 2 3 1 2 0 x dx 3 4 3 2 3 4 31 2 2 2

(4)这也是一个等距节点的插值公式，它与一般Newton-Cotes公式的区别是该 公式的求和项中不包含积分的上下限对 应的函数值

已知飞机在高度H的上升速度v(H)如下:H(km) 0 2 4 6 8 10

v(H)(km/s) 50.0 46.0 40.0 32.2 22.5 10.0

用复化梯形公式求从地面(H=0)上升到 10 1 H=10km高空所需的时间 T 0 v( H ) dH1 解:复化梯形 h 2, f ( x) ~ v( H )

1 0 v( H ) dH1 n 1 h [ f (a ) f (b) 2 f ( xi )] 2 i 1 2 1 1 1 1 1 1 [ 2( )] 2 50 10 46 40 32.2 22.5 0.36448

给定求积分公式

2h

2 h

f ( x)dx Af ( h) Bf (0) Cf (h)

试确定积分公式中的A、B、C使积分公式的代 数精度最高，并指出实际的代数精度

解：令f (x)=1,x,x2,则 f (x)=1f (x)=x f (x)=x2

左边 x 2 h 4h A B C 右边左边 x1 21 3

2h

2 2h

0 A C 右边 2 h3 2 2 16 h h A h C 右边 3 2 h

左边 x

3 2h

关于A、B、C的三元一次方程组 A B C 4h A 8 3 h A C 0 解得 B 4 3 h A C 16 h C 8h 3 3

该积分公式可写为

2h

2 h

8 4 f ( x)dx 8 hf ( h ) hf ( 0 ) 3 3 3 hf (h)

下面确定该公式实际代数精度 再取f (x)=x3

左边 x1 4

4 2h 2 h

0

3 3 8 右边 8 h h 0 h h 0 3 3

再取f (x)=x4代入，得 左边= x1 5 5 2h 2h

h64 5

5

4 4 8 16 5 h h 0 h h 右边= 3 3 h 8 3

左边≠右边，所以该求积公式具有3阶代 数精度。

用龙贝格方法计算下列积分

1

0

xdx

要求精确到10-2f ( x) x

解：(1)

在区间[0,1]上使用梯形公式，得1 T1 1 [ f ( 0 ) f ( 1 )] 2 2 [1 0] 0.5

(2)将区间[0,1]二等分，x=0. 5是新 分点，得1 T2 1 [ T 2 1 2 f 0.5 ] 0.6036

1 S1 4 T 1 0.6380 3 2 3T

3 , (3)再将区间等分，增加的分点为 4 3 1 1 T4 1 T [ f ( ) f ( 2 2 4 4 4 )] 0.6433 1 S2 4 T 3 4 3 T2 0.6565 1 C1 16 S 15 2 15 S1 0.6578 1 4

(4)将区间再等分，增加的分点为 1 3 5 7 8,8,8,83 5 7 1 1 T8 1 T [ f f ( ) f ( ) f 2 4 8 8 8 8 8 ]

0.65821 S4 4 T 3 8 3 T4 0.6632 1 C2 16 S 15 4 15 S2 0.6536

64 1 R1 C2 C1 0.6536 63 63

(5)将区间再等分，增加的分点为1 16 3 5 7 9

11 13 15 , 16 , 16 , 16 , 16 , 16 , 16 , 16

T16 0.6636

S8 0.6654C4 0.6656R2 0.6658注意:什么时候停止计算?