经典Runge-Kutta方法和显式四阶Adams方法

经典Runge-Kutta方法和显式四阶Adams方法的比较和上机实现。

微分方程数值解实验报告

经典Runge-Kutta方法和显式四阶Adams方法的比较和上机实现。

#include<stdio.h> #include<math.h> #define M 200 float m; float h;

//因为用到 fabs()和 exp()函数，加上函数预处理名。 //申请两个大容量的数组用来存放两种方法每一步求的 y 值 //将 m 和 h 都设为全局变量，后面的分函数也要用到。

float RungeKutta(float y) { float k1,k2,k3,k4; k1=m*y; k2=m*(y+h*k1/2); k3=m*(y+h*k2/2); k4=m*(y+h*k3); y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4); return y; } void main() { int n,i; float y[M],Y[M];

//经典 Runge-kutta 方法的函数，精髓。

//主函数

//申请两个数组

float y0,e0,e1; printf("请输入区间等分数 n 值和参数值 m:"); scanf("%d,%f",&n,&m); h=1/float(n); y[0]=1.0,Y[0]=1.0; for(i=1;i<=n;i++) { if(i<=3) 用 { //龙塔方法求出。 //使用显性 4 阶 Adams 方法只能从 y4 开始求起，故 y0 到 y3 都 //赋初始值。 //按照区间等分数，循环执行以下语句 n 次

y[i]=Rung

eKutta(y[i-1]); Y[i]=RungeKutta(Y[i-1]); } else {

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y[i]=RungeKutta(y[i-1]); Y[i]=Y[i-1]+(h/24)*(55*m*Y[i-1]-59*m*Y[i-2]+37*m*Y[i-3]-9*m*Y[i-4]); } //上公式是显性四阶 Adams 方法的核心公式。

printf("请输出 Runge-Kutta 算法结果 y0:%f 和使用显式四阶 Adams 算法结果 y1:%f\n",y[i],Y[i]); } y0=exp(m*1.0); e0=fabs(y0-y[n]); e1=fabs(y0-Y[n]); //求出在区间右端点的精确解 //求 Runge-Kutta 算法在右端点处的截断误差 //求显式四阶 Adams 算法在右端点处截断误差

printf("请输出在右端点处的 Runge-Kutta 算法误差 e0=%f 和显式四阶 Adams 算法误差 e1=%f",e0,e1); }

注意： Runge算法可修改为 注意：若想仅使用 经典 Runge-Kutta 算法可修改为for(i=1;i<=n;i++) y[i]=RungeKutta(y[i-1]); //仅用这些就可以了 四、调试和运行程序过程中产生的问题及采取的措施： 调试和运行程序过程中产生的问题及采取的措施： 1、编译时出错，若想在主函数和被调用函数都使用一些变量，必须把这些变量设为全局变 量。 2、编译时，没有注意数据类型转换，如 float h;h=1/n;是错误的，因为 n 是整形的，当 n 值大于 1 时，h 老为零。应进行模式转换，h=1/float(n) ;这样才是正确的。 3、对浮点数求绝对值时，应使用 fabs()函数，而不是 abs() 。 行输出结果及分析： 五、运行输出结果及分析： 上述程序在 Visual C++ 6.0 环境下加以实现。经过多次测试，程序运行正确。例如： 分别输入 n 值和 m 值：16 ,-2,运行结果如图所示，图中显示了每一步的值及端点误差。

经典Runge-Kutta方法和显式四阶Adams方法的比较和上机实现。

由上图可知： 由上图可知： 1.在右端 x=1 点处的截断误差 E(h)=|yn - y(1)|, 经典 Runge-Kutta 算法误差为 0.000001, 显式四阶 Adams 算法为 0.000023。 由此可得， 在误差精度上经典 Runge-Kutta 算法要比显式 四阶 Adams 算法好。 2.由变换公式知，经典 Runge-Kutta 算法误差整体截断误差为 O(h4) ,局部截断误差 5 5 为 O(h ),显式四阶 Adams 算法局部截断误差也为 O(h )。

对于去掉显式四阶 算法的单纯的 的单纯的经典 Runge算法， 对于去掉显式四阶 Adams 算法的单纯的经典 Runge-Kutta 算法， 输入 16, 100,可有以下图示: 等分数 n 和参数值 m:16,-100,可有以下图示:

经典Runge-Kutta方法和显式四阶Adams方法的比较和上机实现。

分析：经典 Runge-Kutta 方法： E ( h ) = 1 + h +

h 2 h3 h4 + + 2! 3! 4!

它的绝对稳定区间为(-2.785,0) ,必须取足够小的步长，使 λh 落在绝对稳定区域内， 数值解才具有数值稳定性，而从上可知，h=1/16, λ =-100,可知 λh =-6.25,不在稳定区间 (-2.785,0) ,故是不稳定的。 通过这次课程设计: 1. 我又进一步巩固了 C 语言的基础。 2. 做课程设计达到了理论与实践结合的目的，提高了自己的编程能力。 3. 对两种方法有了更深一步的了解，掌握了其原理和使用。