二阶常微分方程级数解法 本证值问题

数学物理方法课件

§9.1特殊函数常微分方程 dS= r d · sin d r z r sin dS= dr· sin d 球坐标： r x r sin cos dr r d y r sin sin d z r cos r

第九章二阶常微分方程的级数解法本征值问题 dS= dr· d r

0 r 0 2 0 x o

d

(r, , )

d

(r sin ) d y

dV= (dr) (r d )[(r sin ) d ]= r2 sin dr d d

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1 2 u 1 u 1 2u导出 2 u 2 r 2 sin 2 2 r r r r sin r sin 2空间中某一点电场的散度代表该点附近单位体积

(推导见下页)中电通量的净流出量. d ( r 2 E r ) 1 ( E sin ) 1 E E (I) 2 dV r r r sin r sin u 1 u 1 u E u er e e (II) r r r sin (II)代入(I)式得 u u1 2 u 1 sin u 1 1 u 2 (r ) r sin r r r r sin r r sin 1 2 u 1 u 1 2u 2 (r ) 2 sin 2 2 r r r r sin r sin 2 2

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z

r sin

d

dr

r d Er Eφ

ro xy ( r ) Er ( r ) dS

d

(r sin ) d

E Er er E e E e 2

Eθ

Er ( r )( r d )( r sin d ) Er ( r ) r ( sin d d ) ( r dr ) Er ( r dr )[( r dr ) d ][( r dr ) sin d ] Er ( r dr ) ( r dr )2 (sin d d )3

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柱坐标z

x cos y sin z z dz

d dV= (d )( d )( dz)= (d )( d )( dz)= d d dz x o

d ( , ,z)y

zd

d

0 , 0 2 , z

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2 u 1 u 1 2u 2u 2 2 2

的导出思路:

空间中某一点电场的散度代表该点附近单位体积中电通量的净流出量. 1 1 E E z E ( E ) z u 1 u u E u e e ez z (II)代入(I)式得 1 u 1 1 u u ( ) (

(I) (推导见下页) (II)

u 2u ) 2 z

1 u 1 2u 2u 2 u 1 u 1 2u 2u ( ) 2 2 2 2 2 2 2 z 5 z

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电场的散度代表该点附近单位体积中电通量的净流出量. ( r ) E r ( r )( r d )( r sin d ) ( r dr ) E r ( r dr )[( r dr )d ][( r dr )sin d ]

( r dr ) ( r ) [ E r ( r dr ) ( r dr ) 2 E ( r ) r 2] sin d d ( r 2 E r ) 1 (r 2 E r ) 2 1 ( r 2 E r ) sin dr d d 2 r sin dr d d 2 dV r r r r r同理 1 E 2 1 E ( d ) ( ) r sin dr d d dV r sin r sin 1 ( E sin ) 2 ( d ) ( ) r sin dr d d r sin 1 ( E sin ) dV r sin d 1 ( r 2 E r ) 1 ( E sin ) 1 E E 2 6 dV r r r sin r sin

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z

( ) E ( )( d dz ) ( d ) E ( d )[( d ) d dz] Eρ

dφoy x

ρ dφ

dρ

dzρEφ

E E e E e E z ez

ρ+ dρ

Ez7

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电场的散度代表该点附近单位体积中电通量的净流出量. ( ) E ( )( d dz ) ( d ) E ( d )[( d ) d dz] ( d ) ( ) [ E ( d ) ( d ) E ( ) ] d dz ( E ) d d dz ( E ) ( E )

d d dz

dV

同理 1 E 1 E ( d ) ( ) d d dz dV E E ( z dz ) ( z ) d d dz dV d 1 1 E E z E ( E ) dV z

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(一)Laplace方程

2u 0

(1)球坐标系1 2 u 1 u 1 2u 0 r 2 sin 2 2 2 2 r r r r sin r sin (9.1.1)分离变量解

u(r, , ) R(r ) Y ( , )

代入得到

Y d 2 dR R Y R 2Y 0 r 2 sin 2 2 2 2 r dr dr r sin r sin

r R( r ) Y ( , )

2

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1 d 2 dR 1 Y 1 1 Y r sin R dr dr Y sin Y sin 2 22

1 d 2 dR 1 1 Y 1 1 2Y r sin 2 2 R dr dr Y sin Y sin

i)径向方程

—Euler型常微分方程 d 2 dR r R 0,后面解出 l (l 1) dr dr d 2 dR r l (l 1) R 0 dr dr

R( r ) C r D rl

( l 1)

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t ln r dR dR dt 1 dR dr dt dr r dt 2 2 d R 1 dR 1 d R 2 2 2 2 dr r dt r dt 2 dR 2 d R r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr11

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d R dR l (l 1) R 0 2 dt dt 2 D D l (l 1) 0[ D (l 1)][ D l] 0 R( r ) C e D elt ( l 1)

t

2

Ce

l ln r l

De

( l 1) ln r

Cr Dr

( l 1)

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2 ii)球函 1 Y 1 Y Y 0 sin 2 2数方程： sin sin 球函数方程可以进一步分离变量，令 Y ( ) ( )

2 sin 2 0两边同乘 sin 2 2 sin sin

sin d d 1 d 2 2 sin sin 2 d d d 方位角θ方向：sin d sin d sin 2 0 d d

极角φ方向： " 0, ( 2 ) ( ) ( ) A cos m B sin m , m 2 (m 0,1,2,3, )

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1 d d sin 2 0 sin d d sin d dx d d令： x, ( ) y ( x ),则 cos sin d d dx dx

1 d dy 1 d dy 2 ( sin ) sin sin sin d d sin dx dx d 2 dy d dy =[0,π],在两端 2 sin (1 cos ) dx dx dx dx 点cos0=1, cosπ d m 2 dy 1 x dx 1 x 2 y 0 dx 2

u=l(l+1), l价连带 Legendre方程

= -1, x=cos =± 1的“自然边界条件”构成本征值问题，决定 l只能取整数值

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Adrien Marie LegendreAdrien-Marie Legendre (September 18, 1752– January 10, 1833) was a French mathematician. He made important contributions to statistics, number theory, abstract algebra and mathematical analysis.

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d dy m2 u=l(l+1), 2 1 x dx 1 x 2 y 0 l价连带 Legendre方程 dx

当 m=0时，称为 l价Legendre方程：

d 2 dy 1 x dx y 0 dx

dy即： 2 d y 1 x 2x y 0 2 dx dx注意：因 x= cosθ,而θ的变化范围是[0, ],所以 x的变化范围是[ -1,+1]。

2

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(2)柱坐标系 1 u 1 2 u 2 u 2u=0 2 2 z 2 0 试分离变量解:

u( , , z ) R( ) ( ) Z ( z )2 2

代入 2u=0得到:

Z d d

dR RZ d d Z d 2 d 2 R dz 2 0 2

/ RZ

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