2019年中考数学复习 第三单元 函数 滚动小专题(四)一次函数与反

1 滚动小专题(四) 一次函数与反比例函数的综合

1．(2018·菏泽T 20·7分)如图，已知点D 在反比例函数y ＝a x

的图象上，过点D 作DB⊥y 轴，垂足为B(0，3)，直线y ＝kx ＋b 经过点A(5，0)，与y 轴交于点C ，且BD ＝OC ，OC∶OA＝2∶5.

(1)求反比例函数y ＝a x

和一次函数y ＝kx ＋b 的表达式； (2)直接写出关于x 的不等式a x

＞kx ＋b 的解集．

解：(1)∵BD＝OC ，OC∶OA＝2∶5，点A(5，0)，点B(0，3)，

∴OA＝5，OC ＝BD ＝2，OB ＝3.1分

又∵点C 在y 轴负半轴上，点D 在第二象限，

∴点C 的坐标为(0，－2)，点D 的坐标为(－2，3)．

∵点D(－2，3)在反比例函数y ＝a x

的图象上， ∴a ＝－2×3＝－6.

∴反比例函数的表达式为y ＝－6x

.3分 将A(5，0)，C(0，－2)代入y ＝kx ＋b ，得

?????5k ＋b ＝0，b ＝－2，解得?????k ＝25，b ＝－2.

∴一次函数的表达式为y ＝25

x －2.5分 (2)不等式a x

＞kx ＋b 的解集为x ＜0.7分 2．(2018·江西)如图，反比例函数y ＝k x

(k≠0) 的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于A (1，a)，B 两点，点C 在第四象限， CA∥y 轴，∠ABC＝90°.

(1)求k 的值及点B 的坐标；

(2)求tan C 的值．

解：(1)∵点 A(1，a)在y ＝2x 上， ∴a＝2.∴A(1，2)．

2 把A(1，2)代入y ＝k x

得k ＝2. ∵A，B 两点关于原点O 中心对称，

∴B(－1，－2)．

(2)设AC 交x 轴于点D.

∵CA∥y 轴，∴AC⊥x 轴，

即∠ADO＝90°.

又∵∠ABC＝90°，∴∠C＝∠AOD.

∴tan C ＝tan ∠AOD＝AD OD ＝21

＝2. 3．(2018·宜宾)如图，已知反比例函数y ＝m x

(m≠0)的图象经过点(1，4)，一次函数y ＝－x ＋b 的图象经过反比例函数图象上的点Q(－4，n)．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)一次函数的图象分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P 点，连接OP ，OQ ，求△OPQ 的面积．

解：(1)反比例函数y ＝m x

(m≠0)的图象经过点(1，4)， ∴4＝m 1，解得m ＝4，故反比例函数的表达式为y ＝4x

. 一次函数y ＝－x ＋b 的图象与反比例函数的图象相交于点Q(－4，n)，

∴?????n ＝4－4，n ＝－（－4）＋b ，

解得?????n ＝－1，b ＝－5. ∴一次函数的表达式为y ＝－x －5.

(2)由?????y ＝4x ，y ＝－x －5，

解得?????x ＝－4，y ＝－1，或?????x ＝－1，y ＝－4. ∴点P(－1，－4)．

在一次函数y ＝－x －5中，令y ＝0，得－x －5＝0，解得x ＝－5，故点A(－5，0)．

S △OPQ ＝S △OPA －S △OAQ ＝12×5×4－12

×5×1＝7.5.

4．(2017·贵阳)如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数y ＝k x

(k ＞0)的图象交于点A(1，m)，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n(0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM.

(1)求m 的值和反比例函数的表达式；

(2)直线y ＝n 沿y 轴方向平移，当n 为何值时，△B MN 的面积最大？

3

解：(1)∵直线y ＝2x ＋6经过点A(1，m)．

∴m＝2×1＋6＝8.

∴A(1，8)．

∵反比例函数经过点A(1，8)，∴8＝k 1

. ∴k＝8.

∴反比例函数的解析式为y ＝8x

. (2)由题意，点M ，N 的坐标为M(8n ，n)，N(n －62

，n)． ∵0＜n ＜6，

∴n －62

＜0. ∴S △BMN ＝12×(|n －62|＋|8n |)×n＝12×(－n －62＋8n )×n＝－14(n －3)2＋254

. ∴n＝3时，△BMN 的面积最大．

5．(2018·咸宁)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4，2)，直线y ＝－12x ＋52

与边AB ，BC 分别相交于点M ，N ，函数y ＝k x

(x ＞0)的图象过点M. (1)试说明点N 也在函数y ＝k x

(x ＞0)的图象上； (2)将直线MN 沿y 轴的负方向平移得到直线M′N′，当直线M′N′与函数y ＝k x

(x ＞0)的图象仅有一个交点时，求直线M′N′的解析式.

解：(1)∵矩形OABC 的顶点B 的坐标为(4，2)，

∴点M 的横坐标为4，点N 的纵坐标为2.

把x ＝4代入y ＝－12x ＋52，得y ＝12

，

4 ∴点M 的坐标为(4，12

)． 把y ＝2代入y ＝－12x ＋52

，得x ＝1. ∴点N 的坐标为(1，2)．

∵函数y ＝k x

(x ＞0)的图象过点M ， ∴k＝4×12＝2.∴y＝2x

(x ＞0)． 把N(1，2)代入y ＝2x

，得2＝2. ∴点N 也在函数y ＝k x

(x ＞0)的图象上． (2)设直线M′N′的解析式为y ＝－12

x ＋b. 由?????y ＝－12x ＋b ，y ＝2x 得，x 2

－2bx ＋4＝0. ∵直线y ＝－12x ＋b 与函数y ＝2x

(x ＞0)的图象仅有一个交点， ∴(－2b)2

－4×4＝0，解得b 1＝2，b 2＝－2 (舍去)．

∴直线M′N′的解析式为y ＝－12

x ＋2.

6．(2018·遂宁)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)与反比例函数y ＝m x

(m≠0)的图象交于第二、四象限A ，B 两点，过点A 作AD⊥x 轴于点D ，AD ＝4，sin ∠AOD＝45

且点B 的坐标为(n ，－2)． (1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)E 是y 轴上一点，且△AOE 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点坐标．

解：(1)∵一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝m x

图象交于A 与B ，且AD⊥x 轴， ∴∠ADO＝90°.

在Rt △ADO 中，AD ＝4，sin ∠AOD＝45

， ∴AD AO ＝45

，即AO ＝5. 根据勾股定理，得DO ＝52－42＝3.

∴A(－3，4)．

5 代入反比例函数解析式，得m ＝－12，即y ＝－12x .

把B 坐标代入，得n ＝6，即B(6，－2)， 代入一次函数解析式，得

?????－3k ＋b ＝4，6k ＋b ＝－2，解得?????k ＝－23，

b ＝2.

∴y＝－23x ＋2.

(2)当OA ＝AE 1＝5时，得到OE 1＝2AD ＝8，即E 1(0，8)． 当OE 3＝OE 2＝AO ＝5，即E 2(0，－5)，E 3(0，5)． 当AE 4＝OE 4时，设E 4坐标为(0，a)， 则a 2＝(0－3)2＋(a －4)2，解得a ＝258，

即E 4(0，258)．

综上，当点E 为(0，8)或(0，5)或(0，－5)或(0，258)时，△AOE 是等腰三角形．