初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第24讲 几何的定值与最值

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第二十四讲 几何的定值与最值

几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法；

3．数形结合法等．

注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．

【例题就解】

【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ．

思路点拨 如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD=DQ+CQ，DQ=

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2

2

12

AB

一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP=x，则PB=10 x，从代数角度探求CD的最小值．

注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：

(1)中点处、垂直位置关系等；

(2)端点处、临界位置等．

【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆

⌒

交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（ ） A．从30°到60°变动 B．从60°到90°变动

C．保持30°不变 D．保持60°不变

思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．

注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题

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中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．

【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b(a>b)，P为AB边上的一动点， 直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．

思路点拨 设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式a2 b2 2ab (当且仅当a b时取等号)来求最小值．

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【例4】 如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．

思路点拨 即要证AK·BN是一个定值，在图形中△ABC的边长是一个定值，说明AK·BN与AB有关，从图知AB为△ABM与△ANB的公共边，作一个大胆的猜想，AK·BN=AB，从而我们的证明目标更加明确．

注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．

【例5】 已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．

思路点拨 顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．

注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是： (1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值．

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