数学物理方程——8 积分变换法

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数学物理方法

第五章

积分变换法

1. Fourier变换 1.1 Fourier变换的定义+∞+∞

1 f ( x)= 2π

∫∫ ∞

(

∞

f (τ )e iωτ dτ )e iω x dω,

(*)

傅里叶积分定理:设f在 ( ∞,+∞)内满足下面两个条件：+∞

(1)积分

∞

∫

f ( x) dx存在；

(2) f(x)在 ( ∞,+∞)内满足狄里克莱条件：在任意有限区间至多有有限个第一类间断点,而且只有有限个极值点，则足上面的傅里叶积分公式(*)

1

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第五章

积分变换法

定义：如果 f(x)满足傅里叶积分定理的条件，则定义的傅里叶变换为+∞

f(x)

F (ω )=

∞

∫

f ( x)e iωx dx

= F[ f (x)]

定义

F (ω )的傅里叶逆变换为1 f ( x)= 2π+∞ ∞

∫ F (ω )e

iω x

dω 1

=F

1

[ F (ω )]

Fourier积分定理可以写为

F[ F[ f ( x )]]= f ( x )(反演公式)下午9时10分

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第五章

积分变换法

1.2 Fourier变换的性质 1. Fourier变换及其逆变换是线性变换

F[α f+β g]=α F[ f]+β F[ g]F 1 ( F[α f+β g] )= F 1 (α F[ f]+β F[ g] )2.微分性

F[ f′( x )]= iω F (ω )一般

若 lim f ( x)= 0x→+∞

若 lim f(k)( x)= 0,=0,1,,n-1,则 k x→+∞

F[ f

(n)

( x )]= ( iω ) F (ω )n

3

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第五章

积分变换法

3.积分性若当

x→+∞

时,

∞

∫

x

f (t ) dt→ 0,

则

x 1 F ∫ f (t )dt = F[ f ( x)] ∞ iω

4.位移性质

F[ f ( x± x0 )]= e

± iω x0

F[ f ( x )]

F

1

[ F (ω ω0 )]= e

± iω0 x

f ( x)

4

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第五章+∞

积分变换法

5.

卷积性质如果对于f(x)与g(x),使得

∞

∫

f ( x t ) g (t )dt

存在，则定义f(x)与g(x)的卷积为

f g ( x)=

Δ

+∞

∞

∫

f ( x t ) g (t )dt

f g= g f f ( g h)= ( f g ) h f ( g+ h)= f g+ f h5

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第五章

积分变换法

卷积定理设

F (ω )= F[ f ( x)], G (ω )= F[g ( x)],则

F[ f ( x ) g ( x )]= F (ω ) G (ω )或

F 1[ F (ω ) G (ω )]= F 1[ F (ω )] F 1[G (ω )]

6

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第五章

积分变换法

证明

F[ f ( x ) g ( x )]=∞+∞

∞

∫

f ( x ) g ( x ) e iω x d x iω x

====

∞ ∞∞

∫∫∫

f ( x t ) g (t ) d t e+∞

dx

∞∞

g (t ) d t∫ f ( x t )e iω x d x ∞

∞∞

∫

g (t ) d t∫ f (ξ )e iω (ξ+ t ) dξ ∞

+∞

∞

∫

g (t ) e iω t d t∫ f (ξ )e iωξ dξ ∞

+∞

= F (ω ) G (ω )7

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第五章

积分变换法

6.乘积定理

1 F[ f ( x) g ( x)]= F (ω ) G (ω ) 2π∞

证明

F[ f ( x )

g ( x )]=

∞

∫

f ( x ) g ( x ) e iω x d x∞

1= 2π 1= 2π 1= 2π8

∞

∫

g ( x ) e iω x d x∫ F (t ) e itx d t ∞+∞

+∞

∞

1∫ F (t )G (ω t ) d t= 2π F G ∞下午9时10分

∞∞

∫

F (t ) d t∫ g ( x ) e i (ω t ) x d x ∞

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例1解定解问题 2 2u 2 u, ∞< x<+∞, t> 0 2=a 2 t x u ( x,0)= ( x), u ( x,0)=ψ ( x), ∞< x<+∞ t 解：利用傅立叶变换的性质′ f(x) F (ω ) f′ iω F (ω ) (x) f′(x) ω 2 F (ω ) d 2U (ω, t ) t>0= a 2ω 2U (ω, t ), dt 2 U (ω,0)=Φ (ω ), dU (ω,0)=Ψ (ω ), dt U (ω, t )= A cos aωt+ B sin aωtΨ (ω ) B= U (ω, 0)= A=Φ (ω ) aωΨ (ω ) U (ω, t )=Φ (ω ) cos aωt+ sin aωt aω9

f(x ξ ) F (ω )e iωξF (ω )∫0 f(ξ )dξ iωx下午9时10分

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Ψ (ω ) U (ω, t )=Φ (ω ) cos aωt+ sin aωt aω

eiaω t+ e iaω tΨ (ω ) eiaω t e iaω t=Φ (ω )+ 2 aω 2i 1 1 Ψ (ω ) iaω tΨ (ω ) iaω t iaω t iaω t =Φ (ω )e+Φ (ω )e+ e iω e 2a iω 2

f(x ξ ) F (ω )e iωξ x F (ω )∫0 f(ξ )dξ iω

x at 1 1 x+ at u ( x, t )=[ ( x+ at )+ ( x at )]+ψ (ξ )dξ ∫ψ (ξ )dξ 0 2 2a ∫0

1 1 x+ at=[ ( x+ at )+ ( x at )]+∫x atψ (ξ )dξ 2 2a

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2. Laplace变换 2.1 Laplace变换的定义

定

对于函数 f (t )= 0 (t< 0),F ( p )=∫ f (t )e pt dt0∞

为从 f ( t )到 F ( p )的拉普拉斯变换，该积分为拉普拉斯积分，其中 p为复数.

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积分变换法

拉普拉斯变换存在定理:若函数 f (t )满足下列条件：在 t≥ 0的任意有限区间上分段连续；当 t→+∞时，f (t )的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数

M> 0,

c≥ 0使得

f (t )≤ Me ct, 0≤ t≤+∞成立，则 f (t )的拉普拉斯变换+∞

F (s)=

∫0

f (t )e st dt= L[ f (t )]

在半平面 Re(s)> c上一定存在，其中的积分绝对且一致收敛，及 F ( s )为解析函数。12

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拉普拉斯逆变换1σ+ i∞ f (t )= F ( p )e pt dp, 2π i∫σ i∞p=σ+ iω

又称 f (t )为原函数 F ( p )

为像函数

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