同济大学线性代数第六版答案(全)(2)

1c2 c1 1

1 1c3 c1

n 1 a11

(6)Dn 11 a2

11

000

200 2 20 2 2 2 2n 32n 42n 5 000 0 n ( 1)n 1(n 1)2n 2

1 1

, 其中a1a2 an 0

1 an

解

a11

Dn 11 a2

11

1

1 1 an

a1

c1 c2 a2

0

c2 c3

0

00a2 a3 0000a3 00 0 0 0 an 1 0

010101 an 11 an1 an

1 1

a1a2 an0

0001 1 00001 00 000 10

0a1 1

1

0a2

1

0a3

1

1an 1

1

11 an

100

a1a2 an

0010 0001 0 000 0000 1

a1 1 1a2 1a3 1an 1

ni 1

000 001 ai 1

(a1a2 an)(1 1)

i 1ai

8 用克莱姆法则解下列方程组 x1 x2 x3 x4 5 x 2x2 x3 4x4 2

(1) 1

2x1 3x2 x3 5x4 2 3x x 2x 11x 0 1234

n

解 因为 1

D 12

3

12 31

1 1 12

1

4 142 511

52 D1 20 D3 2

3所以 x1

12 311 1 1214 142 D 2 52

1135

2 201 1 121

4 284 511

12 315 2 20114 426 D 1

42 5

1131

2 311 1 125

2 142 20

DDDD

1 x2 2 x3 3 x4 1

DDDD

1 5x1 6x2

0 x1 5x2 6x3

(2) x2 5x3 6x4 0

x3 5x4 6x5 0

x4 5x5 1

解 因为 51

D 0

00

651000651000651

00

0 665 65

D1 0

0 D3 6510065100

0651010001

0065100651

05010 1507 D2 0605005010 703 D4 06050

1

000165100

0651006510

0065110001

00

0 1145 6500

0 395 65

5 D5 0

0065100065100065110

0 212 01

所以

x1 1507 x2 1145 x3 703 x4 395 x4 212

665665665665665

x1 x2 x3 0

9 问 取何值时 齐次线性方程组 x1 x2 x3 0有非

x1 2 x2 x3 0

零解？

解 系数行列式为

1 D 1

12 令D 0 得 0或 1

于是 当 0或 1时该齐次线性方程组有非零解

(1 )x1 2x2 4x3 0

10 问 取何值时 齐次线性方程组 2x1 (3 )x2 x3 0

x1 x2 (1 )x3 0

有非零解？

解 系数行列式为

24 3 4

D 23 1 21 1

111 101

(1 )3 ( 3) 4(1 ) 2(1 )( 3 ) (1 )3 2(1 )2 3 令D 0 得

0 2或 3

于是 当 0 2或 3时 该齐次线性方程组有非零解

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

x1 2y1 2y2 y3

x2 3y1 y2 5y3 x3 3y1 2y2 3y3

求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换 解 由已知

x1 221 y1

x2 315 y2

x 323 y

2 3

1

y1 221 x1 7 49 y1

故 y2 315 x2 63 7 y2

y 323 x 32 4

3 y3 2

y1 7x1 4x2 9x3

y2 6x1 3x2 7x3

y3 3x1 2x2 4x3

2 已知两个线性变换 x1 2y1 y3

x2 2y1 3y2 2y3

x3 4y1 y2 5y3

y1 3z1 z2

y2 2z1 z3 y3 z2 3z3

求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换 解 由已知

x1 201 y1 201 31

x2 232 y2 232 20

x 415 y 415 0 1

2 3

0 z1

1 z2 z 3 3

613 z1 12 49 z2

10 116 z 3

x1 6z1 z2 3z3

所以有 x2 12z1 4z2 9z3

x3 10z1 z2 16z3

111 123

3 设A 11 1 B 1 24 求3AB 2A及ATB

1 11 051 111 123 111

解 3AB 2A 3 11 1 1 24 2 11 1

1 11 051 1 11 058 111 21322

3 0 56 2 11 1 2 1720

290 1 11 429 2 111 123 058

AB 11 1 1 24 0 56

1 11 051 290

T

4 计算下列乘积 431 7

(1) 1 23 2

570 1

431 7 4 7 3 2 1 1 35

解 1 23 2 1 7 ( 2) 2 3 1 6

570 1 5 7 7 2 0 1 49

3

(2)(123) 2

1

3

解 (123) 2 (1 3 2 2 3 1) (10)

1 2

(3) 1 ( 12)

3

2 ( 1)2 2 2 2

解 1 ( 12) 1 ( 1)1 2 1

3 3 ( 1)3 2 3

4

2 6

1

02140 (4) 11 134 4

3 1 30

1 2 1 2

1

2 6 78

20 5 6 1 2

1

02140 解

1 134 1

4

3 1 30

a11a12a13 x1

(5)(x1x2x3) a12a22a23 x2

aaa 132333 x3

解

a11a12a13 x1

(x1x2x3) a12a22a23 x2

aaa 132333 x3

x1

(a11x1 a12x2 a13x3 a12x1 a22x2 a23x3 a13x1 a23x2 a33x3) x2

x 3

22 a33x3 2a12x1x2 2a13x1x3 2a23x2x3 a11x12 a22x2