第4章_56傅立叶变换的性质

§ 4.5

傅里叶变换的性质 时域的描述 频域的描述

任一信号可以有两种描述方法

本节将研究在某一域中对函数进行某种运算，在另一域中所引起的效应。为简便，用

f ( t ) F ( j )

表示时域与频域之

间的对应关系，即

F( j ) f t f (t )e dt1 j t f (t ) F ( j )e d 2

j t

一、线性若 f ( t ) F ( j ) 1 1

f2 (t) F2 ( j )则对于任意常数 a1和 a 2

,有

a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1( j ) a2F2 ( j )傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况

线性性质有两个含义：1、齐次性

它表明，若信号f(t)乘以常数（即信号增大

a

倍），则其频谱函数也乘以相同的常数（则其频谱函数也增大2、可加性

它表明，几个信号之和的频谱函数等于各个信号的频谱函数之和。

a倍）；

a

a

二、奇偶性下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。如果 f (t )是时间

t的实函数，那么根据： j t

e

j t

cos( t ) j sin( t )

F( j ) f (t)e dt f (t)cos( t)dt j f (t)sin( t)dt

R( ) jX ( ) F ( j ) e

j ( )

其中频谱函数的实部和虚部分别为：

R ( ) f ( t ) cos( t ) dt X ( ) f ( t ) sin( t ) dt频谱函数的模和相角分别为：

F ( j )

R ( ) X ( )

2

2

X ( ) ( ) arctan( ) R ( )1、若 f(t)是时间 t的实函数，则频谱函数 F j 的实部R 是角频率 的偶函数，虚部 X 是角频率 的奇函数，F ( j )是 的偶函数， ( )是 的奇函

数。

2、如果f(t)是时间

t

的实函数，并且是偶函数，则

F(j ) R( ) f(t)cos( t)dt 2 0f(t)cos( t)dt

频谱函数F(j )等于R( )，它是3、如果f(t)是时间

的实偶函数

t

的实函数，并且是奇函数，则

F(j ) jX( ) j f(t)sin( t)dt j2 0f(t)sin( t)dt

频谱函数F(j )等于jX( )，它是

的虚奇函数

4、f( t)的傅里叶变换

[f( t)] f( t)e

[f( t)]

j t

dt

令

t

，得

f( )ef( )e

j

d( )d

j( )

F( j )

若f(t) 是时间t 的实函数

考虑到R( )是 的偶函数，X( )是

的奇函数，

F( j ) R( ) jX( ) R( ) jX( ) F(j )故：

[f( t)] F( j ) F(j )

将以上结论归纳起来是：如果 f (t )

是

t

的实函数，且设j ( )

f (t ) F( j ) F( j ) e则有(1) (2) (3)实偶

R( ) jX( )

R( ) R( ), X ( ) X ( ) F ( j ) F ( j ), ( ) ( )

f ( t ) F ( j ) F ( j )如 f ( t ) f ( t ),则 X ( ) 0, F ( j ) R ( )如 f ( t ) f ( t ),则 R ( ) 0, F ( j ) jX ( )

实偶

实奇

虚奇

如果 f (t)是

t的虚函数，设 f t jg t 则有 F j jg t e dt jg t cos t dt j g t sin t dt g t sin t dt j g t cos t dt j t 2

(1)

R( ) R( ), X ( ) X ( ) F ( j ) F ( j ), ( ) ( )

(2)

f ( t ) F ( j ) F ( j )

三、对称性

若则

f ( t ) F ( j )

F ( jt ) 2 f ( ) 1 j t证明:傅里叶逆变换式 f (t ) F ( j )e d 2 将上式中的自变量 t换为 t,得 1 j t f ( t ) F ( j )e d 2 将上式中的 t换为 ,将原有的 换为 t,得1 f ( ) F ( jt )e j t dt 2

2 f ( ) F ( jt )e j t dt上式表明，时间函数 F ( jt )的傅里叶变换为 2 f ( )。

例如，时域冲激函数 (t)的傅里叶变换为频域的常数1 ( )；由对称性可得，时域的常数

1( t )的傅里叶变换为2 ( )，由于 ( )

是 的偶函数，故有

(t) 1

1( t ) 2 ( )

sin t例4.5-1求取样函数 Sa ( t ) 的频谱函数。 t解:我们已知，宽度为 ,幅度为 1的门函数 g (t )的频谱函数为 Sa ( ),即 2

则：

g ( t ) Sa ( ) 2 g 2 ( t ) 2 Sa ( )1 2

1,即取 2

2

g 2 ( t ) Sa ( )根据傅里叶变换的对称性质:

Sa ( t ) 2 g 2 ( ) g 2 ( )1 2

Sa ( t ) 1/2 g2(t) 1/2

其波形如下图所示：

, g 2 ( ) 0, 1

1 1Sa( )

-1 0 1 Sa(t)1

t

0

g2( )

0

t

-1 0 1

图 4.5-1函数 Sa(t)及其频谱

例4.5-2求函数 t和 1的频谱函数。t

解 (1)函数

t ( )是 '

' ( t ) j 我们已知：由对称性并考虑到'

的奇函数，可得：'

jt 2 ( ) 2 ( ) t j 2 ( ) t j 2 ( )''

(2)函数

1 t

我们已知

2 sgn( t ) j

由对称性并考虑到 sgn( ) sgn( ),得

2 2 s

gn( ) 2 sgn( ) jt根据线性性质，时域频域分别乘以1 j得： 2

1 j sgn( ) t

四、尺度变换尺度变换特性为：若

f ( t ) F ( j )1 F( j ) a a

则对于实常数 a (a 0),有 f (at )

上式表明，若信号 f (t )在时间坐标上压缩到原来 1的，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽 a 1倍，同时其幅度减小到原来的,称为尺度变换 a特性或时域展缩特性。

a

f t g t 1-2 / 2

F j

2 /

0f at 1

t2

01 3F

j 36

3

6 0 6

t

6

0

a 3

图 4.5-2尺度变换

设证明： f ( t ) F ( j ),则展缩后的信号 f (at )的傅里叶变换为:令

[ f (at)] f (at)e

j t

dt

x at当a 0时

,则 t x, dt 1 dx, a a

[ f ( at )]

f ( x )e

j

x a

1 dx a

j x 1 f ( x )e a dx a 1 F( j ) a a

设证明： f ( t ) F ( j ),则展缩后的信号 f (at )的傅里叶变换为:

[ f (at)] f (at)e

j t

dt

当a 0,a a,令x at a t, x 1 1 t x, d t d x a a ax

j 1 1 a F f at f x e d x a a

f x e

j

x a

1 d x F j a a

综合上述两种情况

1 f ( at ) F( j ) a a

若令

a 1,得

f ( t ) F ( j )