第二章 随机信号分析

现代通信技术第二章随机信号分析第二章随机信号分析

第二章随机信号分析 引言随机过程的基本概念和统计特性平稳随机过程平稳随机过程的相关函数与功率谱密度高斯随机过程随机过程通过线性系统窄带随机过程正弦波加窄带高斯噪声第二章随机信号分析

随机过程定义自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类: 确定性过程–其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。

随机过程–其变化过程无法用一个或几个时间t的确定函数来描述。第二章随机信号分析

样本空间

测量一台接收机中的噪声波形x 1(t) t x 2(t) t

S1 S2 Sn

(t)

x n(t) t tk

样本函数的总体第二章随机信号分析

随机过程ξ(t)的一维分布函数

Fxt P t x

随机过程ξ(t)的一维概率密度函数

一维分布函数或一维概率密度函数描述了

随机过程在各个孤立时刻上的统计特性

随机过程ξ(t)的二维分布函数

随机过程ξ(t)的二维概率密度函数

二维分布函数或二维概率密度函数描述了

随机过程在不同时刻取值的内在联系

15

对每个时间点上的随机变量进行均值，构成一个时间函数

2. 方差:表示随机过程在时刻t对于均值a(t)

的偏离程度。

即均方值与均值平方之差。

D[ξ(t)]常记为σ2(t)

4.相关函数R(t1, t2)

二者关系：

B(t1,t2) =R(t1,t2) a(t1) a(t2)

任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。则称ξ(t) 是狭义平稳随机过程或严平稳随机过程。 具体到它的一维分布,

即f1(x1, t1) =f1(x1，t1＋h) 则与时间t无关 f1(x1, t1) =f1(x1)

则均值为常数a,同理，方差也为常数

平稳随机过程 二维分布只与时间间隔τ有关

f2(x1, x2;t1,t2)=f2(x1, x2;τ)自相关函数只与τ有关，记为R(τ)

第二章随机信号分析

宽平稳随机过程 设有一个二阶矩随机过程ξ(t),它的均值为常数，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或

广义平稳随机过程。 通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。

第二章随机信号分析

2.3.2各态历经性 假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为

如果平稳随机过程依概率1使下式成立

则称该平稳随机过程具有各态历经性。第二章随机信号分析

2.3.2各态历经性

“各态历经”的含义： 随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。 我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”,使实际测量和计算的问题大为简化。 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。第二章随机信号分析

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设ξ(t)为实平稳随机过程

平稳随机过程的功率谱密度

Pf(w) limT FT(W)T2

E(FT(W))E[P(w)] limP (w) fTT 2

ξ(t)的平均功率S则可表示成

1s 2 1 p (w)dw 2 EFT(w)dw limTT 2

平稳随机过程的功率谱密度 维纳-辛钦定理：平稳随机过程的功率谱密度Pξ (ω)与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换关系,即

或

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2.4.2平稳随机过程的功率谱密度 功率谱密度Pξ (ω)有如下性质： (1) Pξ (ω)≥0,非负性； (2) Pξ ( ω)=Pξ (ω),偶函数。

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补充：连续函数的自相关函数 连续函数自相关函数

v( ) v(t)v(t )dt

意义：函数值v(t)与自身平移 后的函数值v(t- )之间的相似性

自相关系数：归一化的自相关函数

( ) v v(t)v(t )dt

v(t)dt2

补充：离散序列的自相关函数 离散序列的自相关函数

x(m)

n x(n)x(n m)

意义：序列x(n)与自身平移m后的值x(n-m)之间的相似性 离散序列的自相关系数：自相关函数的归一化

x(m) n x(n)x(n m)

n x2(n)

例：连续函数的变化快慢与自相关

函数的对应关系设：1. X1(t)较之X2(t)随时间变化慢。2.两连续函数采样时间间隔相同问：如下两个自相关函数的图分别对应X1(t)与X2(t)中的哪一个？

X1(t)

X2(t)

t ( ) ( )

t

5

10

5

无线系统实际意义：对于随距离变化的信道参数，以相同的时间间隔，不同的移动速度取样

21

问题：自相关函数和功率谱密度的对应 ( ) ( )

? (f) f (f)

f

时域信号、自相关函数及功率谱密度之间的关系

X(t)

X(t)

t t连续函数随时间变化快自相关函数图形窄连续函数随时间变化慢自相关函数图形宽

( )连续函数随时间变化快功率谱密度宽 (频率成份丰富)自相关函数图形窄功率谱密度宽

( ) 自相关函数图形宽功率谱密度窄

连续函数随时间变化慢功率谱密度窄 (频率成份不丰富)

(f) f

(f)

f

23

傅立叶变换时域信号变化慢傅立叶变换自相关函数宽功率谱高频分量少，频谱窄频谱高频分量少，频谱窄

傅立叶变换时域信号变化快傅立叶变换自相关函数窄功率谱高频份量，频谱宽频谱高频分量多，频谱宽

一维正态概率密度函数

n0

2

n0R(τ)= ( )2

如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。

理想化的白噪声在实际中是不存在的。

如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。

式中a为高斯随机变量的数学期望，σ2为方差。

正态分布概率密度函数 (1) f(x)对称于x= a这条直线。

(2)a表示分布中心，σ表示集中程度，f(x)图形将随着σ的减小而变高和变窄。当a= 0,σ= 1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。

定义概率积分函数

( x) 定义Q函数 Q ( x ) 1 ( x )

1 2

x

e

t 2/2

dt, x 0dt, x 0

1 2

x

e

t 2/ 2

( x )Q( x)

例如：一维分布函数用概率积分函数表示 x 1 ( z a)2 F ( x ) p( x ) exp[ ]dz 2 2 2 z a ) (

2.5.4误差函数 误差函数：

erf ( x )

2

ex 0

z dz2

互补误差函数：

erfc(x) 1 erf (x)

2

x

z dz e2

与标准正态分布函数的关系：

erfc( x ) 2Q ( 2 x ) 2[1 ( 2 x )]

1 erf ( x ) 2↙ 1 erfc( x ) 2

( 2 x )第二章随机信号分析

↙

2x

2.5.4误差函数 1 erf ( x )性质： 2↙ 1 erfc( x )误差函数是递增函数 2↙ erf(-x)=-erf(x) 2x erf(∞)=1互补误差函数是自变量的递减函数 erfc(∞)=0

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vo(t)=vi(t)*h(t)=

频域上Vo(ω)=H(ω)Vi(ω) vi( )h(t )d

R0(t1,t1 )只与τ有关，即输出过程也平稳

输出功率谱密度po(w) H(w)pi(w)2

如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型 …… 此处隐藏：1967字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……