高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧

不等式恒成立问题中的参数求解技巧

在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

一、用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

2例1 对于x∈R，不等式x 2x 3 m 0恒成立，求实数m的取值范围。 2解：不妨设f(x) x 2x 3 m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使f(x) 0(x R)，只需 0，即( 2)2 4(3 m) 0，解得m 2 m ( ，2]。 2变形：若对于x∈R，不等式mx 2mx 3 0恒成立，求实数m的取值范围。

此题需要对m的取值进行讨论，设f(x) mx 2mx 3。①当m=0时，3>0，显然成立。②当m>0时，则△<0 0 m 3。③当m<0时，显然不等式不恒成立。由①②③2

3)。 知m [0，

2关键点拨：对于有关二次不等式ax bx c 0（或<0）的问题，可设函数f(x) ax2 bx c，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

2例2 已知函数f(x) x 2kx 2，在x 1时恒有f(x) k，求实数k的取值范围。

2 解：令F(x) f(x) k x 2kx 2 k，则F(x) 0对一切x 1恒成立，而F(x)

是开口向上的抛物线。

2 4k 4(2 k) 0，解得－2<k<1。 ①当图象与x轴无交点满足△<0，即

)时F(x) 0，只需 ②当图象与x轴有交点，且在x [ 1，

0 k 2或k 1 3 k 2 F( 1) 0 1 2k 2 k 0，

2k k 1 1

2由①②知 3 k 1

)恒成立，关键点拨：为了使f(x) k在x [ 1，构造一个新函数F(x) f(x) k是

解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

二、参数大于最大值或小于最小值

如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。a f(x)恒成立 a f(x)max，即大于时大于函数f(x)值域的上界。a f(x)恒成立 a f(x)min，即小于时小于函数f(x)值域的下界。

2 例3 已知二次函数f(x) ax x，如果x∈［0，1］时|f(x)| 1，求实数a的取值

范围。

2解：x∈［0，1］时，|f(x)| 1 1 f(x) 1，即 1 ax x 1

①当x=0时，a∈R

2 ax x 111 2a 2 ax x 1(0，1] x恒成立，即求x②当x∈时，问题转化为恒成，由

111 11 111u(x) 2 x (0，1] [1， )，u(x)2xx24x x的最大值。xx设。因

为减函数，所以当x=1时，u(x)max 2，可得a 2。 11 11 11111v(x) 2 a 2 x x2 4。因xx恒成立，即求x2x的最小值。设x由

1x (0，1] [1， )，v(x)x为增函数，所以当x=1时，v(x)min 0，可得a≤0。

由①②知 2 a 0。 22

1

关键点拨：在闭区间［0，1］上使|f(x)| 1分离出a，然后讨论关于x的二次函数在

[1， )上的单调性。

lg2ax 1lg(a x)例4 若不等式在x∈［1，2］时恒成立，试求a的取值范围。

x 1 解：由题设知 2ax 0，得a>0，可知a+x>1，所以lg(a x) 0。原不等式变形为

lg2ax lg(a x)。

2]，可得2x 1 0 2ax a x，即(2x 1)a x。又x [1，

x1 1 1 1 1 f(x) 1 2x 12 2x 1 恒成立。设2 2x 1 ，在x∈［1，2］上为222f(x)min f(2) a 0 a 3，知3。综上知3。 减函数，可得 a

lg2ax 1lg(a x)关键点拨：将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。

xyxy c x 2y2x y，对任意正例5 是否存在常数c使得不等式2x yx 2y

数x、y恒成立？试证明你的结论。 c

解：首先，欲使xy x 2y2x y恒成立（x、y>0），进行换元令

2b a x x 2y a 32b a2a b，得 2x y b y 2a b c 3 ab。∴上述不等式变为，即

1 2b a2a b 1 2b2a1 2b2a c 2 2 3 ab 3 abb 恒成立。寻求3 a 的最小值，由

21 2b2a2b2a 1 2 2 2 3ab3ab 3。 a>0，b>0，利用基本不等式可得

2x y axyc 2x yx 2y(x、y 0)同理欲使恒成立，令 x 2y b， 2a b x 3 y 2b ac 3∴上述不等式变为得 1 2a b2b a 3 ab ， 1 ba 1 ba 1 ba c 2 2 4 4 a b 3ab3ab3 。寻求 的最大值，易得 即

1 ba 1 ba 22 4 4 2 c 3 ab 3 ab 3。综上知存在3使上述不等式恒成立 2

关键点拨：本题是两边夹的问题，利用基本不等式，右边寻找最小值3，左边寻找最22

大值3，可得c=3

三、变更主元

在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。

2例6 若不等式2x 1 m(x 1)，对满足 2 m 2所有的x都成立，求x的取值范围。

2解：原不等式可化为m(x 1) (2x 1) 0

2令f(m) (x 1)m (2x 1)( 2 m 2)是关于m的一次函数。

2 f( 2) 2(x 1) (2x 1) 0 1 71 3 2 x f(2) 2(x 1) (2x 1) 022 由题意知 解得

1 71 3 22 ∴x的取值范围是

关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。

例7 已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数且f(1) 1，若a、b∈［－1，1］，a+b≠0，f(a) f(b) 0a b有。

（1）判断函数f(x)在［－1，1］上是增函数还是减函数。

1 1 f x f 2x 2 2 。 （2）解不等式

21]、a∈［－1，1］恒成立，求实数m的取f(x) m 2am 1对所有x [ 1，（3）若

值范围。

解：（1）设 1 x1 x2 1，则

f(x1) f(x2) f(x1) f( x2) f(x1) f( x2)(x1 x2) 0x1 x2，

可知f(x1) f(x2)，所以f(x)在［－1，1］上是增函数。

1 1 x 1 2 1 1 2x 12 11 x 2x 22 （2）由f(x)在［－1，1］上是增函数知

11 11x| x x 42 42解得，故不等式的解集

（3）因为f(x)在［－1，1］上是增函数，所以f(x) f(1) 1，即1是f(x)的最大值。

22依题意有m 2am 1 1，对a∈［－1，1］恒成立，即m 2am 0恒成立。

令g(a) 2ma m2，它的图象是一条线段，那么

2 g( 1) m 2m 0 2 m ( ， 2] {0} [2， )。 g(1) m 2m 0

关键点拨：对于（1），抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2），后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的

2大小转化到自变量的大小上来。对于（3），转换视角变更主元，把m 2am 0看作关于

a的一次函数，即g(a) 2ma m在a∈［－1，1］上大于等于0，利用g(a)是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m的不等式组，从而求得m的范围。

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