数学思想与方法试题总卷(3)

E卷

一、填空题（每题3分，共30分）

1．三段论是演绎推理的主要形式。三段论由（大前提、小前提、结论）三部分组成。

2．化归方法是指，（把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法）。3．在计算机时代，（计算方法）已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。

4．算法具有下列特点：（．①有限性，②确定性，③有效性）。

5．化归方法的三个要素是：（化归对象、化归目标、化归途径）。

6．根据学生掌握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成（多次孕育、初步理解、简单应用）三个阶段。

7．一个概括过程包括（比较、区分、扩张和分析）等几个主要环节。

8．古代数学大致可以分为两种不同的类型：一种是（崇尚逻辑推理，），以《几何原本》为代表；一种是（长于计算和实际应用），以《九种算术》为典范。

9．《九章算术》思想方法的特点主要有（开放的归纳体系、算法化的内容、模型化的方法）。

10．初等代数的特点是（是用字母符号来表示各种数，并且最初研究的对象主要是代数式的运算和方程的求解）。

二、判断题（每题2分，共10分）

1．完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。（是）

2．古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不懂几何的人不得入内。这是因为他的学校里所学习的课程要用到很多几何知识。（否）

3．完全归纳法的一般推理形式是：设S＝有性质P，因此推断集合S中的每一个对象都具有性质P。（否）

4．《九章算术》是世界上最早系统地叙述分数运算的著作，它关于负数的论述也是世界上最早的。（是）

5．算术反映的是物体集合之间的函数关系。（否）

三、简答题（每题6分，共30分）

1．试对《九章算术》思想方法的一个特点“算法化的内容”加以说明。

1．答：①《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术”，作为一类问题的共同解法。②以后遇到其它同类问题，只要按“术”，给出的程序去做就一定能求出问题的答案。③历代数学家受到追求实用、讲究算法的传统思想的影响，使他们对《九章算术》的注、校，主要集中在对“术”进行研究，即不断改进算法。因此我们说，内容的算法化是《九章算术》思想方法上的特点之一。

2．简述化归方法在数学教学中的应用

8 2．答：化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面：

①利用化归方法学习新知识；②利用化归方法指导解题；③利用化归原则理清知识结构。

评分标准：

3．试用框图表示用特殊化方法解决问题的一般过程。

3．答：用特殊化解决问题的一般过程，可以用框图表示如下：

这个框图告诉我们：①若我们面对的问题A 解决起来比较困难，可以先将A 特殊化为A ＇，因为A ＇与A 相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由A ＇所导出的结论B ＇，它包含的内涵一般也会比较多。②把信息B ＇反馈到问题A 中，就会为问题解决提供一些新的信息，再去推导结论B 就会比较容易一些。③若解决问题A 仍有困难，则可对A 再次进行特殊化，进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论B ，使问题A 得以解决。

4．微积分产生可以归结为哪四类情况

4．答：这些问题归结到数学上主要有如下四类情况。

①第一类是：已知物体移动的距离为时间的函数，求物体瞬时速度和加速度；反过来，已知物体的加速度为时间的函数，求速度和距离。 ②第二类是：求曲线切线的斜率和方程。

③第三类是：求函数的最大值与最小值。

④第四类是：求曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面围成的物体的重心。

这四类问题的核心是求一个常量无法确定的量——变量——问题。

5．变量数学产生的意义是什么？

5．答：①变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的工具；②变量数学的产生，促进数学自身的发展与严密；③变量数学的产生，使辩证法进入数学

四、解答题（每题15分，共30分）

1．解方程[][]x x x x

表示小于或等于，其中22=-的最大整数。 1．答：

①先从[x ]的定义入手估计x 的取值范围，然后划分成若干小区间求解。

根据[x ]的定义，由原方程得

[]22-=≥x x x ； 1分 即 022≤--x x 。………………………（1） 1分

解不等式得

21≤≤-x 。………………（2） 1分 ②由于原方程的解包含在（1）的解中，因此可将（2）划分为四个小区间来求解：

(I)当01<≤-x 时，原方程为

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；，，解得112)1(2-===--x x x 2分 ∵1)01-=∴-?x

，舍去；，［１。 1分 (II)当10<≤

x 时，原方程为

；，解得2202±==-x x 1分 ∵原方程无解。

，舍去；，１∴?±)0[2 2分 (III)当

2<≤x １时，原方程为

；，解得3212±==-x x 1分 ∵。

，舍去；，3)21[3=∴?-x 1分 (IV)当2=x 时，显然满足原方程。 2分

③所以，原方程的解为231321==-=x x x ，，。 2分

2．简述数学模型在数学教学中的作用。

2．答： 数学模型在数学教学中的作用主要有三方面：①其一是构造数学模型解决实际问题。求解某些应用问题时，常常需要我们根据实际情况创设条件构造数学模型，然后通过求解数学模型的解获得实际问题的解。②其二是数学模型的应用。如果根据问题的条件可以判断所求结果具有某种确定的数学结构，那么可直接应用该数学模型解题。③其三是数学模型之间的相互转换。某些不同的数学模型之间具有同构关系，我们往往可以通过将一种模型转换成另一种模型，使问题的求解更加容易。