第二章 自动控制系统的数学描述

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第二章 自动控制系统的数学描述第一节 概论 第二节 机理分析建模方法 第三节 拉氏变换和传递函数 第四节 典型环节的动态特性 第五节 系统方框图等效变换 起点中文阅读 20112011-1-18 1

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第一节 概论系统的数学模型: 系统的数学模型: 描述系统各变量之间关系的数学表达式 如微分方程、 如微分方程、传递函数 控制系统的数学模型关系到对系统性能的分 析结果， 析结果，本章将对系统和元件数学模型的建 立、传递函数的概念、结构图的建立及简化 传递函数的概念、 等内容加以论述。 等内容加以论述。

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课题： 第二节 机理分析建模方法目的、要求： 理解电气系统、液力系统的建 模过程 重点： 一阶系统、二阶系统的建模

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2.1 建模举例液力系统 单容水箱已知: 已知: 流入量 Qi, 流出量 Qo, 截面 A; 液位 H 求: 以 Qi 为输入，H 为输出的系统动态方程式. 为输入，H 为输出的系统动态方程式. 解: 根据物质守恒定律 AdH = (Q Q )dti 0

中间变量为 Qo, 据流量公式 线性化处理: 线性化处理:

Q0 = α H

Q0 = α ′H

Qi H Qo

dH 1 = (Qi α ′H ) dt A

规范化

A dH 1 + H = Qi α ′ dt α′

A

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2.1 建模举例电气系统 RLC 电路Ui Ri

L C Uo

求: 以U i为输入，U o为输出的系统动态方程式. 为输入，U 为输出的系统动态方程式. 解: 由基尔霍夫定律 消中间变量U =

∑U

i

U i = U R + U L + U 0 = Ri + Li = C dU dt0

di 1 + dt C

∫ idt

dU 0 (t ) d 2U 0 (t ) + RC + U 0 (t ) = U i (t ) LC 2 dt dt

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2.2 建立模型小结 确定系统的输入、输出变量； 根据系统的物理、化学等机理，依据列出各 元件的输入、输出运动规律的动态方程； 消去中间变量，写出输入、输出变量的关系 的微分方程。

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课题： 第三节 拉氏变换与传递函数 要求： 掌握:拉氏变换的定义， 掌握:拉氏变换的定义， 几种典型函数的拉氏变换， 几种典型函数的拉氏变换，拉氏变换的性质 传递函数的概念 重点：由建模得微分方程 重点：拉氏变换

传递函数

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3.1 拉普拉斯(Laplace )变换 拉普拉斯(Laplace )变换

定义1.拉氏变换的定义 1.拉氏变换的定义L x (t ) = X ( s ) =

[

]l

∫0

∞

x ( t ) e st dt

其中

x(t)_原函数, X(s)_象函数, x(t)_原函数, X(s)_象函数, 复变量 s = σ + j ω

2.拉氏反变换的定义 2.拉氏反变换的定义

1 σ + j∞ st x(t ) = L X ( s ) = ∫σ j∞ X (s)e ds 2πj 1

[

]

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单位阶跃函数的拉氏变换 单位阶跃函数x(t ) = u (t ) = 0(t < 0)1(t ≥ 0)

L[u(t)] = ∫ 1

∞

0

1 e dt = s st

1 L = u(t ) s

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拉氏变换的性质与定理1) 线性定理设：X ( s ) = L[x(t )]L[ax(t )] = aX ( s ) L[x1 (t ) ± x2 (t )] =

X 1 ( s ) ± X 2 ( s )

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2) 微分定理 dx ( t ) L = sX dt (s) x (0 )

dx 2 ( t ) 2 L = s X ( s ) sx ( 0 ) x ( 0 ) 2 dt

dx n ( t ) L = s n dt s

n

X (s) s x (0 ) L

n 1

x (0 ) ( n 1)

n 2

x

(0 )

dx n (t ) L = s n X (s) dt n

各初值为0时

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3) 积分定理X (s) 1 L ∫ x(t )dt = + ∫ x(t )dt t =0 s s L x(t ) dt n = X ( s) L ∫ ∫ 14243 sn 4 4 n

[

]

各初值为0时

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4)终值定理

lim x(t ) = lim sX ( s )t →∞ s →0

5) 初值定理x(0) = lim x(t ) = lim sX ( s )t →0 s →∞

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3.2 传递函数定义 零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏变换之比 设输入为r(t),输出为 设输入为r(t),输出为 y(t) ,则系统的传递函 ,则系统的传递函 数为: 数为:Y (s) G(s) = R( s)

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传递函数的引入 单容水箱: 单容水箱:令 零初始条件下对微分方 零初始条件下对微分方 程进行拉氏变换

A dH 1 + H = α ′ dt α ′ H H (t ) Qi

Q

i

Q i (t ) A

T = K = TsH

α ′1 ( s ) + H ( s ) = KQi

α ′

i

(s)

( Ts + 1 ) H ( s ) = KQ

(s)

G(s) =

H ( s) K = Qi (s) Ts + 1

H (s) K = Q i(s) Ts + 1Q i(s) G(s) H(s)

如果Qi (s)不变,则输出H(s)的特性完全

由G(s)的形式与数值决定.可见,G(s)反映 了系统自身的动态本质.

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传递函数的求取对微分方程进行拉氏变换 零初始条件) (零初始条件) (n) ( n 1) a0 y + a1 y + L + an 1 y + an y 系统微分方程: 系统微分方程:

dny y (n) dt n dy y dt

= b0 r零初始条件拉氏变换: 零初始条件拉氏变换:

(m)

+ b1r

( m 1)

+ L + bm 1 r + bm r

(a s0

n

+ a1s n 1 + L + an 1s + an Y ( s )

= b0 s m + b1s m 1 + L + bm 1s + bm R ( s )Y ( s) 整理得传递函数: 整理得传递函数: G ( s ) = R( s) b0 s m + b1s m 1 + L + bm 1s + bm B ( s) = = n n 1 a0 s + a1s + L + an 1s + an A( s)

(

)

)

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传递函数的性质1) 传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与 输入量的大小和性质无关 2)实际系统的传递函数是S的有理分式(n≥m) )实际系统的传递函数是S的有理分式(n≥m) 3)传递函数与微分方程有相通性，两者可以相 互转换 4)传递函数只适用于线性定常系统

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3.3 控制系统的微分方程与传递函数控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性 能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求 解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中 某个参数变化或者结构形式改变，便需要重新列 写并求解微分方程。 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得 到的系统在复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可 以

研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。 传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的 概念

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传递函数概念的进一步说明输入ur(t) 输出uc(t) (3. 0) 由基尔霍夫定律，

i(t)R+uc (t) = ur (t)1 u c (t ) = C

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