广州大学复变函数期末试卷习题四解答(1)

习题四解答

3．求下列幂级数的收敛半径：

2

（n!）

（2）∑zn； n

n=1n

∞

1＋i)z；（3）（

n=0

∑

∞

nn

解

（2）R=1/lim

n→∞

an+1a

=limnn→∞aann+1

n→∞

1

(1+n

=0; =lim

n→∞n+1

（3

）R=1/lim=lim1/|1+i|=1/

n4．把下列各函数展开成z的幂级数，并指出它们的收敛半径。 （1）

11

；（3）1+z1+z2

2

；

解 （1）由

1

=1 z+z2 z3+",|z|<1，故 1+z

1n

=1 z3+z6 z9+…+( 1)z3n+…，|z|<1， 1+z

而收敛半径R=1； （3）因故 又因

1n

=1 z+z2 z3+…+( 1)zn+…，|z|<1， 1+z

1n

=1 z2+z4+…+( 1)z2n+…，|z|<1， 2

1+z

2z 1 ′= 2

1+z 1+z2

2

，

1+z而R=1；

1

22

=

1 1

′=1 2z2+3z4 4z6+…，|z|<1， 2 2z 1+z

5．求下列各函数在指定点z0处的Taylor展开式

（1）（3）

z 1

，z0=1 z+1

1

，z0= 1 z解 （1）因

11z 1z 1

=(z 1)=

z+1z 1+221+z 1

2

及

1

=1 z+z2 z3+",|z|<1。故 1+z

2n 1

z 1z 1 z 1 z 1 n 1 z 1

()+ + = +""11

z+12222

z 1 z 1 n 1 z 1

= +" +"+( 1)

2 2 2 =

2n

∑

n=1

∞

( 1)n 1(z 1)n， |z 1|<2

2n

于是收敛半径R=2。

111 1 2= = 1+(z+1)+(z+1)+"， |z+1|<1， = ′及 2

1 z+1zz z

1n 1

=1+2(z+1)+"+n(z+1)+"=2z

（3）因故

[]

∑(n+1)(z+1)

n=0

∞

n

，|z+1|<1，

而R=1。

6．把下列各函数在指定的圆环域内展开成Laurent级数。

1

（3）

z 1z 2,0<|z 1|<1,1<|z 2|<+∞

（3）0<|z 1|<1内，

11111

= =

(z 1)(z 2)z 2z 1z 1 1z 1

∞∞

111n

= = ∑(z 1) = ∑(z 1)n

z 11 z 1z 1n=0n= 1

在1<|z 2|<+∞内

11111

= =

(z 1)(z 2)z 2z 1z 2z 2+1

11111

= =

z 2z 2z 2z 21+z 21=+z 2

∞

∑( 1)z 2n

n=0

∞

1

n

∑( 1)

n=0n 1

∞

n+1

11

=+nz 2z 2∑( 1)z 2n

n=1

∞

1

n

=

∑( 1)z 2n=2

1

n